Giải bài tập Toán 9: Ôn tập cuối năm để xem gợi ý giải những bài tập trang 131, 132, 133, 134, 135 thuộc chương trình Toan lớp 9 tập 2.

Tài liệu được biên soạn với nội dung bám sát chương trình sách giáo khoa Toán lớp 9 tập 2. Qua đó giúp học viên lớp 9 xem thêm nắm vững hơn kỹ năng và kiến thức trên lớp. Bên cạnh đó những bạn xem thêm thêm tài liệu: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Mời những bạn cùng theo dõi bài tại đây.

Mục lục bài viết

Giải Toán 9: Ôn tập cuối năm

  • Giải bài tập phần Đại số Toán 9 tập 2 trang 131
    • Bài 1 (trang 131 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 2 (trang 131 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 3 (trang 132 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 4 (trang 132 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 5 (trang 132 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 6 (trang 132 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 7 (trang 132 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 8 (trang 132 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 9 (trang 133 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 10 (trang 133 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 11 (trang 133 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 12 (trang 133 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 13 (trang 133 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 14 (trang 133 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 15 (trang 133 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 16 (trang 133 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 17 (trang 133 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 18 (trang 133 SGK Toán 9 Tập 2)
  • Giải bài tập phần Hình học Toán 9 tập 2 trang 131
    • Bài 1 (trang 134 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 2 (trang 134 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 3 (trang 134 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 4 (trang 134 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 5 (trang 134 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 6 (trang 134 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 7 (trang 134 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 8 (trang 134 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 9 (trang 135 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 10 (trang 135 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 11 (trang 135 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 12 (trang 135 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 13 (trang 135 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 14 (trang 135 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 15 (trang 135 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 16 (trang 135 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 17 (trang 135 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 18 (trang 135 SGK Toán 9 Tập 2)

Giải bài tập phần Đại số Toán 9 tập 2 trang 131

Bài 1 (trang 131 SGK Toán 9 Tập 2)

Xét những mệnh đề sau:

I. sqrt {left( { - 4} right).left( { - 25} right)} = sqrt { - 4} .sqrt { - 25} ;

II. sqrt {left( { - 4} right).left( { - 25} right)} = sqrt {100}

III. sqrt {100} = 10

IV. sqrt {100} = pm 10

Những mệnh đề nào là sai?

Hãy chọn câu reply đúng trong những câu A, B, C, D dưới đây:

A. Chỉ có mệnh đề I sai;

B. Chỉ có mệnh đề II sai;

C. những mệnh đề I và IV sai;

D. không tồn tại mệnh đề nào sai.

Gợi ý đáp án

Mệnh đề I sai vì không tồn tại căn bậc hai của số âm.

Mệnh đề IV sai vì √100 = 10(căn bậc hai số học)

những mệnh đề II và III đúng.

Vậy chọn câu C

Bài 2 (trang 131 SGK Toán 9 Tập 2)

Rút gọn những biểu thức:

M = sqrt {3 - 2sqrt 2 } - sqrt {6 + 4sqrt 2 }

N = sqrt {2 + sqrt 3 } + sqrt {2 - sqrt 3 }

Sử dụng công thức hằng đẳng thức: sqrt {{A^2}} = left| A right| = left{ begin{array}{l}A;;khi;;;A ge 0\- A;;;khi;;A < 0end{array} right..

Gợi ý đáp án

eqalign{& M = sqrt {3 - 2sqrt 2 } - sqrt {6 + 4sqrt 2 } cr & =sqrt {{{left( {sqrt 2 } right)}^2} - 2sqrt 2 .1 + {1^2}} cr&;;;;- sqrt {{{left( 2 right)}^2} + 2.2.sqrt 2 + {{left( {sqrt 2 } right)}^2}} cr & = sqrt {{{left( {sqrt 2 - 1} right)}^2}} - sqrt {{{left( {2 + sqrt 2 } right)}^2}} cr & = left| {sqrt 2 - 1} right| - left| {2 + sqrt 2 } right| cr & = sqrt 2 - 1 - 2 - sqrt 2 = - 3 .cr}

eqalign{
& N = sqrt {2 + sqrt 3 } + sqrt {2 - sqrt 3 } cr
& Rightarrow {N^2} = {left( {sqrt {2 + sqrt 3 } + sqrt {2 - sqrt 3 } } right)^2} cr
& = 2 + sqrt 3 + 2sqrt {left( {2 + sqrt 3 } right)left( {2 - sqrt 3 } right)} + 2 - sqrt 3 cr
& = 4 + 2sqrt {4 - 3} = 6. cr}

Vì N > 0 nên N^2 = 6 ⇒ N = sqrt6.

Vậy N = sqrt {2 + sqrt 3 } + sqrt {2 - sqrt 3 } = sqrt 6.

Bài 3 (trang 132 SGK Toán 9 Tập 2)

Giá trị của biểu thức

{{2left( {sqrt 2 + sqrt 6 } right)} over {3sqrt {2 + sqrt 3 }}}bằng

(A) displaystyle {{2sqrt 2 } over 3}

(B) displaystyle {{2sqrt 3 } over 3}

(C) 1

(D) displaystyle {4 over 3}

Gợi ý đáp án

Ta có:

eqalign{
& {{2left( {sqrt 2 + sqrt 6 } right)} over {3sqrt {2 + sqrt 3 }}} = {{2left( {sqrt 2 + sqrt 6 } right).sqrt 2 } over {(3sqrt{ 2 + sqrt 3} }) .sqrt 2 } cr
& = {{2left( {2 + 2sqrt 3 } right)} over {3.sqrt {left( {2 + sqrt 3 } right).2} }} = {{2left( {2 + 2sqrt 3 } right)} over {3.sqrt {4 + 2sqrt 3 } }} cr
& = {{2left( {2 + 2sqrt 3 } right)} over {3.sqrt {{{left( {sqrt 3 } right)}^2} + 2sqrt 3 .1 + {1^2}} }} = {{4left( {1 + sqrt 3 } right)} over {3.sqrt {{{left( {1 + sqrt 3 } right)}^2}} }} cr
& = {{4left( {1 + sqrt 3 } right)} over {3left( {1 + sqrt 3 } right)}} = {4 over 3}. cr}

Chọn đáp án D.

Bài 4 (trang 132 SGK Toán 9 Tập 2)

Nếu sqrt {2 + sqrt x } = 3 thì x bằng:

(A) 1;

(B) sqrt7;

(C) 7

(D) 49

Gợi ý đáp án

Điều kiện: x geq 0.

Ta có: sqrt {2 + sqrt x } = 3 . Vì hai vế đều dương, ta bình phương hai vế:

Pt Leftrightarrow {left( {sqrt {2 + sqrt x } } right)^2} = {3^2} Leftrightarrow 2 + sqrt x = 9

Leftrightarrow sqrt x = 7 Leftrightarrow {left( {sqrt x } right)^2} = {7^2} Leftrightarrow x = 49 , ,(tm).

Chọn đáp án D.

Bài 5 (trang 132 SGK Toán 9 Tập 2)

chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức sau không tùy thuộc vào biến:

displaystyle left( {{{2 + sqrt x } over {x + 2sqrt x + 1}} - {{sqrt x - 2} over {x - 1}}} right).{{xsqrt x + x - sqrt x - 1} over {sqrt x }}.

+) Tìm điều kiện để biểu thức xác định.

+) Sử dụng những hằng đẳng thức và quy đồng mẫu những phân thức để rút gọn biểu thức.

Gợi ý đáp án

ĐKXĐ: 0 < x ≠ 1.

begin{array}{l}
left( {dfrac{{2 + sqrt x }}{{x + 2sqrt x + 1}} - dfrac{{sqrt x - 2}}{{x - 1}}} right).dfrac{{xsqrt x + x - sqrt x - 1}}{{sqrt x }}\
= left[ {dfrac{{2 + sqrt x }}{{{{left( {sqrt x + 1} right)}^2}}} - dfrac{{sqrt x - 2}}{{left( {sqrt x + 1} right)left( {sqrt x - 1} right)}}} right].dfrac{{xleft( {sqrt x + 1} right) - left( {sqrt x + 1} right)}}{{sqrt x }}\
= dfrac{{left( {2 + sqrt x } right)left( {sqrt x - 1} right) - left( {sqrt x - 2} right)left( {sqrt x + 1} right)}}{{{{left( {sqrt x + 1} right)}^2}left( {sqrt x - 1} right)}}.dfrac{{left( {sqrt x + 1} right)left( {x - 1} right)}}{{sqrt x }}\
= dfrac{{x + sqrt x - 2 - left( {x - sqrt x - 2} right)}}{{left( {sqrt x + 1} right)left( {x - 1} right)}}.dfrac{{left( {x - 1} right)left( {sqrt x + 1} right)}}{{sqrt x }}\
= dfrac{{x + sqrt x - 2 - x + sqrt x + 2}}{{sqrt x }} = dfrac{{2sqrt x }}{{sqrt x }} = 2.
end{array}

Vậy giá trị của biểu thức đã cho là 2 và không tùy thuộc vào giá trị của biến x.

Bài 6 (trang 132 SGK Toán 9 Tập 2)

Cho hàm số y = ax + b .Tìm a và b, biết rằng đồ thị của hàm số đã cho thỏa mãn một trong những điều kiện sau:

a. Đi qua hai điểm A(1; 3) và B(-1; -1).

b. Song song với đường thẳng y = x + 5 và đi qua điểm C(1; 2).

Gợi ý đáp án

a. Gọi (d) là đồ thị hàm số y = ax + b.

Vì A(1; 3) in (d) nên 3 = a + b.

Vì B(-1; -1) in (d) nên -1 = -a + b.

Ta có hệ phương trình:left{ matrix{a + b = 3 hfill cr - a + b = - 1 hfill cr} right.

begin{array}{l}
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a + b + left( { - a} right) + b = 3 + left( { - 1} right)\
a + b = 3
end{array} right.\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2b = 2\
a = 3 - b
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
b = 1\
a = 2
end{array} right.
end{array}

Vậy a = 2; b = 1

b. Gọi (d) là đồ thị hàm số y = ax + b.

Vì (d): y = ax + b song song với đường thẳng (d’): y = x + 5 nên suy ra: a = a’ = 1, b ne 5.

Ta được (d): y = x + b.

Vì C (1; 2) in(d): 2 = 1 + b ⇔ b =1 (TM).

Vậy a = 1; b = 1.

Bài 7 (trang 132 SGK Toán 9 Tập 2)

Cho hai đường thẳng:

y = (m + 1)x + 5 (d1)

y = 2x + n (d2)

Với giá trị nào của m và n thì:

a) d1 trùng với d2?

b) d1 cắt d2?

c) d1 song song với d2?

Gợi ý đáp án

a. ({d_1}) equiv ({d_2})khi và chỉ khi left{ matrix{m + 1 = 2 hfill cr n = 5 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{m = 1 hfill cr n = 5 hfill cr} right..

b.Để d1 cắt d2 thì: m + 1 ≠ 2 ⇒ m ≠ 1

c. ({d_1})parallel ({d_2}) Leftrightarrow left{ matrix{m + 1 = 2 hfill cr n ne 5 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{m = 1 hfill cr n ne 5 hfill cr} right.

Bài 8 (trang 132 SGK Toán 9 Tập 2)

chứng tỏ rằng khi k thay đổi, những đường thẳng (k + 1)x – 2y = 1 luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm cố định đó.

Gợi ý đáp án

Gọi M(x_0;, y_0) là điểm cố định thuộc đồ thị hàm số. Khi đó ta có:

begin{array}{l}
left( {k + 1} right){x_0} - 2{y_0} = 1;;forall ;k in R\
Leftrightarrow k{x_0} + {x_0} - 2{y_0} = 1;forall ;k in R\
Leftrightarrow k{x_0} = 1 - {x_0} + 2{y_0};;;forall ;k in R\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{x_0} = 0\
1 - {x_0} + 2{y_0} = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{x_0} = 0\
{y_0} = - frac{1}{2}
end{array} right.\ Rightarrow Mleft( {0; - dfrac{1}{2}} right).
end{array}

Vậy đường thẳng đã cho luôn đi qua điểm Mleft( {0; - dfrac{1}{2}} right) với mọi k in R.

Bài 9 (trang 133 SGK Toán 9 Tập 2)

Giải những hệ phương trình:

a. left{ matrix{2{rm{x}} + 3left| y right| = 13 hfill cr 3{rm{x}} - y = 3 hfill cr} right.

b. left{ matrix{3sqrt x - 2sqrt y = - 2 hfill cr 2sqrt x + sqrt y = 1 hfill cr} right.

Gợi ý đáp án

a. left{ matrix{2{rm{x}} + 3left| y right| = 13 hfill cr 3{rm{x}} - y = 3 hfill cr} right.

+) Trường hợp y ≥ 0, ta có:left| y right| = y. Khi đó:

begin{array}{l}
Hpt Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2x + 3y = 13\
3x - y = 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
y = 3x - 3\
2x + 3left( {3x - 3} right) = 13
end{array} right.\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
y = 3x - 3\
2x + 9x = 13 + 9
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
y = 3x - 3\
11x = 22
end{array} right.\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
y = 3x - 3\
x = 2
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = 2\
y = 3.2 - 3 = 3;;left( {tm} right)
end{array} right..
end{array}

Vậy hệ phương trình có nghiệm left( {x;;y} right) = left( {2;;3} right).

+) Trường hợp y < 0, ta có: left| y right| = -y. Khi đó:

begin{array}{l}
Hpt Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2x - 3y = 13\
3x - y = 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
y = 3x - 3\
2x - 3left( {3x - 3} right) = 13
end{array} right.\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
y = 3x - 3\
2x - 9x = 13 - 9
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
y = 3x - 3\
- 7x = 4
end{array} right.\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
y = 3x - 3\
x = - dfrac{4}{7}
end{array} right. \ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = - dfrac{4}{7}\
y = 3.left( { - dfrac{4}{7}} right) - 3 = - dfrac{{33}}{7};;left( {tm} right)
end{array} right..
end{array}

Vậy hệ phương trình có nghiệm left( {x;;y} right) = left( {- dfrac{4}{7};;- dfrac{33}{7}} right).

Vậy phương trình có 2 cặp nghiệm: (2; 3) và displaystyle left( { - {4 over 7}; - {{33} over 7}} right)

Bài 10 (trang 133 SGK Toán 9 Tập 2)

Giải những hệ phương trình:

a) left{ matrix{2sqrt {x - 1} - sqrt {y - 1} = 1 hfill cr sqrt {x - 1} + sqrt {y - 1} = 2 hfill cr} right.

b) left{ matrix{{left( {x - 1} right)^2} - 2y = 2 hfill cr 3{left( {x - 1} right)^2} + 3y = 1 hfill cr} right.

Gợi ý đáp án

a) left{ matrix{2sqrt {x - 1} - sqrt {y - 1} = 1 hfill cr sqrt {x - 1} + sqrt {y - 1} = 2 hfill cr} right.

Điều kiện: x geq 1 và y geq 1.

Đặt X = sqrt {x - 1} (điều kiện X ≥ 0)

Y = sqrt {y - 1} (điều kiện Y ≥ 0)

Thay vào phương trình ta được:

eqalign{
& left{ matrix{
2X - Y = 1 hfill cr
X + Y = 2 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
3{rm{X}} = 3 hfill cr
X + Y = 2 hfill cr} right.cr& Leftrightarrow left{ matrix{
X = 1 , , (tm)hfill cr
Y = 1 , , (tm) hfill cr} right. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
sqrt {x - 1} = 1 hfill cr
sqrt {y - 1} = 1 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
x - 1 = 1 hfill cr
y - 1 = 1 hfill cr} right.cr& Leftrightarrow left{ matrix{
x = 2 , , (tm)hfill cr
y = 2 , , (tm)hfill cr} right. cr}

Vậy (2;2) là nghiệm của hệ phương trình

b) left{ matrix{{left( {x - 1} right)^2} - 2y = 2 hfill cr 3{left( {x - 1} right)^2} + 3y = 1 hfill cr} right.

Đặt X = (x – 1)^2(điều kiện X ≥ 0). Khi đó:

begin{array}{l}
Hpt Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
X - 2y = 2\
3X + 3y = 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
X = 2 + 2y\
3left( {2 + 2y} right) + 3y = 1
end{array} right.\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
X = 2 + 2y\
6 + 6y + 3y = 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
X = 2 + 2y\
9y = - 5
end{array} right.\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
X = 2 + 2y\
y = - dfrac{5}{9}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
X = frac{8}{9};;left( {tm} right)\
y = - frac{5}{9}
end{array} right.\
Rightarrow {left( {x - 1} right)^2} = dfrac{8}{9} Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x - 1 = dfrac{{2sqrt 2 }}{3}\
x - 1 = - dfrac{{2sqrt 2 }}{3}
end{array} right. \ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1 + dfrac{{2sqrt 2 }}{3}\
x = 1 - dfrac{{2sqrt 2 }}{3}
end{array} right..
end{array}

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: displaystyle left( {1 + {{2sqrt 2 } over 3}; - {5 over 9}} right)displaystyle left( {1 - {{2sqrt 2 } over 3}; - {5 over 9}} right)

Bài 11 (trang 133 SGK Toán 9 Tập 2)

Hai giá sách có 450 cuốn. Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ hai sẽ bằng displaystyle {4 over 5} số sách ở giá thứ nhất. Tính số sách lúc đầu trong những giá.

Gợi ý đáp án

Gọi x (cuốn) là số sách ở giá thứ nhất lúc lúc đầu; y (cuốn) là số sách ở giá thứ hai lúc lúc đầu. left( {x,;y in N^*,; 50 < x< 450}, , , y < 450right).

Hai giá sách có 450 cuốn nên ta có: x+y=450.

Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ hai sẽ bằng displaystyle {4 over 5} số sách ở giá thứ nhất nên ta có: displaystyle y + 50 = {4 over 5}left( {x - 50} right)

Ta có hệ phương trình:

displaystyle left{ matrix{x + y = 450 hfill cr y + 50 = {displaystyle 4 over displaystyle 5}left( {x - 50} right) hfill cr} right.

Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x + y = 450\
dfrac{4}{5}x - y = 90
end{array} right.

begin{array}{l}
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
dfrac{9}{5}x = 540\
x + y = 450
end{array} right.\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = 300\
300 + y = 450
end{array} right.
end{array}

Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = 300;;left( {tm} right)\
y = 150;;left( {tm} right)
end{array} right..

Vậy số sách lúc đầu ở giá thứ I là 300 cuốn, ở giá thứ II là 150 cuốn.

Bài 12 (trang 133 SGK Toán 9 Tập 2)

Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4km và một đoạn xuống dốc dài 5km. Một người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút và đi từ B về A hết 41 phút (tốc độ lên dốc, xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính tốc độ lúc lên dốc và lúc xuống dốc.

Gợi ý đáp án

Gọi tốc độ lúc lên dốc là xleft( {km/h} right) và tốc độ lúc xuống dốc là y (km/h) left( {x;y > 0} right)

Thời gian lên dốc một đoạn 4km là dfrac{4}{x}left( h right), thời gian xuống dốc một đoạn 5km là dfrac{5}{y} (h)

Thời gian đi từ A đến B là tổng thời gian lên dốc đoạn 4km và xuống dốc đoạn 5km là 40phút = dfrac{2}{3}h nên ta có phương trình dfrac{4}{x} + dfrac{5}{y} = dfrac{2}{3}left( 1 right)

Thời gian lên dốc một đoạn 5km là dfrac{5}{x}left( h right), thời gian xuống dốc một đoạn 4km là dfrac{4}{y} (h)

Thời gian đi từ B đến A là tổng thời gian lên dốc đoạn 5km và xuống dốc đoạn 4km là 41phút = dfrac{{41}}{{60}} h nên ta có phương trình dfrac{5}{x} + dfrac{4}{y} = dfrac{{41}}{{60}}left( 2 right)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

left{ begin{array}{l}dfrac{4}{x} + dfrac{5}{y} = dfrac{2}{3}\dfrac{5}{x} + dfrac{4}{y} = dfrac{{41}}{{60}}end{array} right.

Đặt left{ begin{array}{l}dfrac{1}{x} = u\dfrac{1}{y} = vend{array} right.,left( {u;v ne 0} right) ta có hệ

left{ begin{array}{l}4u + 5v = dfrac{2}{3}\5u + 4v = dfrac{{41}}{{60}}end{array} right.

\Leftrightarrow left{ begin{array}{l}12u + 15v = 2\300u + 240v = 41end{array}right.

\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}192u + 240v = 32\300u + 240v = 41end{array} right.

\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}108u = 9\12u + 15v = 2end{array} right.

Leftrightarrow left{ begin{array}{l}u = dfrac{1}{{12}}\12.dfrac{1}{{12}} + 15v = 2end{array} right.

left{ begin{array}{l}u = dfrac{1}{{12}}\v = dfrac{1}{{15}}end{array} right.left( {TM} right)

Thay lại cách đặt ta được

left{ begin{array}{l}u = dfrac{1}{{12}}\v = dfrac{1}{{15}}end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}dfrac{1}{x} = dfrac{1}{{12}}\dfrac{1}{y} = dfrac{1}{{15}}end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = 12\y = 15end{array} right.left( {TM} right)

Vậy tốc độ khi xuống dốc là 15km/h và tốc độ khi lên dốc là 12km/h.

Bài 13 (trang 133 SGK Toán 9 Tập 2)

Xác định hệ số a của hàm y = ax^2, biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A(-2; 1). Vẽ đồ thị của hàm số đó.

Gợi ý đáp án

Gọi (P) là đồ thị hàm số y = ax^2

A(-2;1) in(P): y = ax^2 nên: displaystyle 1 = a(-2)^2 ⇔ 4a = 1 ⇔ a = {1 over 4}

Vậy ta có hàm số displaystyle = {1 over 4}{x^2}

Vẽ đồ thị hàm số displaystyle y = {1 over 4}{x^2}.

– Tập xác định D =R

– Bảng giá trị:

x -4 -2 0 2 4
displaystyle y = {1 over 4}{x^2}. 4 1 0 1 4

– Vẽ đồ thị: hình bên

Bài 14 (trang 133 SGK Toán 9 Tập 2)

Gọi {{bf{x}}_{bf{1}}},{rm{ }}{{bf{x}}_{bf{2}}} là hai nghiệm của phương trình {bf{3}}{{bf{x}}^{bf{2}}}-{rm{ }}{bf{ax}}{rm{ }}-{rm{ }}{bf{b}}{rm{ }} = {rm{ }}{bf{0}}. Tổng {{bf{x}}_{bf{1}}} + {rm{ }}{{bf{x}}_{bf{2}}} bằng:

(A) displaystyle - {a over 3}

(B) displaystyle {a over 3}

(C) displaystyle {b over 3}

(D) displaystyle - {b over 3}

Hãy chọn câu reply đúng.

Gợi ý đáp án

x_1 và x_2  là hai nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

displaystyle 3{x^2} - ax + b = 0 Rightarrow S = {x_1} + {x_2} = {a over 3}

Chọn đáp án B

Bài 15 (trang 133 SGK Toán 9 Tập 2)

Hai phương trình {x^2} + ax + 1 = 0{x^2} - {rm{ }}x{rm{ }} - {rm{ }}a{rm{ }} = {rm{ }}0 có một nghiệm thực chung khi a bằng:

(A) 0 ; (B) 1 ; (C) 2 ; (D) 3

Gợi ý đáp án

Giả sử x_0 là nghiệm chung của hai phương trình, thì x_0 phải là nghiệm của hệ:

left{ matrix{x_0^2 + a{x_0} + 1 = 0 , , (1) hfill cr x_0^2 - {x_0} - a = 0 , , (2) hfill cr} right.

Lấy (1) trừ cho (2), ta được:

ax_0+x_0+1+a=0

begin{array}{l}
Leftrightarrow left( {a + 1} right){x_0} + 1 + a = 0\
Leftrightarrow left( {a + 1} right)left( {{x_0} + 1} right) = 0\
Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
a + 1 = 0\
{x_0} + 1 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
a = - 1\
{x_0} = - 1
end{array} right..
end{array}

+) Thay a = -1 vào (2), ta được: x_0^2 - {x_0} + 1 = 0

Ta có Delta=-3<0 nên phương trình vô nghiệm.

Vậy loại trường hợp a = -1.

+) Thay x_0 = -1 vào (2), ta có 1+1-a=0 Leftrightarrow a=2.

Vậy hai phương trình đã cho có nghiệm chung x_0 = -1 khi a=2.

Chọn đáp án C.

Bài 16 (trang 133 SGK Toán 9 Tập 2)

Giải những phương trình:

a) 2{x^3} - {rm{ }}{x^2} + {rm{ }}3x{rm{ }} + {rm{ }}6{rm{ }} = {rm{ }}0

b) x(x+1)(x+4)(x+5) = 12

Gợi ý đáp án

a) 2{x^3} - {rm{ }}{x^2} + {rm{ }}3x{rm{ }} + {rm{ }}6{rm{ }} = {rm{ }}0

begin{array}{l};;2{x^3} - {x^2} + 3x + 6 = 0\Leftrightarrow 2{x^3} + 2{x^2} - 3{x^2} + 6x - 3x + 6 = 0\Leftrightarrow 2{x^2}left( {x + 1} right) - 3xleft( {x + 1} right) + 6left( {x + 1} right) = 0\Leftrightarrow left( {x + 1} right)left( {2{x^2} - 3x + 6} right) = 0\Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x + 1 = 0\2{x^2} - 3x + 6 = 0end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = - 1\2{x^2} - 3x + 6 = 0;;left( * right)end{array} right.end{array}

Giải phương trình (*) ta có: {Delta = {{left( { - 3} right)}^2} - 4.2.6 = 9 - 48 =-39 < 0} nên phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy phương trình có 1 nghiệm x = -1.

b) x(x+1)(x+4)(x+5) = 12

begin{array}{l}
;xleft( {x + 1} right)left( {x + 4} right)left( {x + 5} right) = 12\
Leftrightarrow left[ {xleft( {x + 5} right)} right]left[ {left( {x + 1} right)left( {x + 4} right)} right] = 12\
Leftrightarrow left( {{x^2} + 5x} right)left( {{x^2} + 5x + 4} right) = 12 , , , (*).
end{array}

Đặt {x^2} + 5x = t Rightarrow {x^2} + 5x + 4 = t + 4.

Khi đó phương trình left( * right) Leftrightarrow tleft( {t + 4} right) = 12

begin{array}{l}
Leftrightarrow {t^2} + 4t - 12 = 0\
Leftrightarrow {t^2} + 6t - 2t - 12 = 0\
Leftrightarrow tleft( {t + 6} right) - 2left( {t + 6} right) = 0\
Leftrightarrow left( {t - 2} right)left( {t + 6} right) = 0\
Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t - 2 = 0\
t + 6 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = 2\
t = - 6
end{array} right.\
Rightarrow left[ begin{array}{l}
{x^2} + 5x = 2\
{x^2} + 5x = - 6
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x^2} + 5x - 2 = 0;;;;left( 1 right)\
{x^2} + 5x + 6 = 0;;;left( 2 right)
end{array} right.
end{array}

+) Giải phương trình (1) ta có: Delta = {5^2} + 4.2 = 33 > 0 Rightarrow phương trình có hai nghiệm phân biệt: {x_1} = dfrac{{ - 5 + sqrt {33} }}{2} và {x_2} = dfrac{{ - 5 - sqrt {33} }}{2}.

+) Giải phương trình (2) ta có: Delta = {5^2} - 4.6= 1 > 0 Rightarrow phương trình có hai nghiệm phân biệt: {x_1} = -2{x_2} = -3.

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm

x=dfrac{{ - 5 + sqrt {33} }}{2}; x=dfrac{{ - 5 - sqrt {33} }}{2}; x=-2;x=-3.

Bài 17 (trang 133 SGK Toán 9 Tập 2)

Một lớp học có 40 học viên được xếp ngồi đều nhau trên những ghế băng. Nếu ta bớt đi 2 ghế băng thì mỗi ghế sót lại phải xếp thêm một học viên. Tính số ghế băng lúc đầu.

Gợi ý đáp án

Gọi số ghế băng lúc đầu là x ( ghế băng), ( x∈N*, xvàgt; 2)

Số học viên ngồi trên mỗi ghế là frac{40}{x} ( học viên ) .

Khi bớt đi 2 ghế băng thì sót lại x- 2 ( ghế băng ) và khi đó, mỗi ghế có frac{40}{x-2} học viên ngồi.

Theo giả thiết, nếu ta bớt đi 2 ghế băng thì mỗi ghế sót lại phải xếp thêm một học viên nên ta có phương trình:

frac{40}{x- 2} -1 = frac{40}{x}

⇔ 40 x – x(x -2) = 40 (x- 2)

⇔ 40x – x2 + 2x = 40x – 80

⇔ – x2 + 2x + 80 = 0

Có a = -1, b= 2; c = 80 và ∆ = 22 – 4.(-1). 80 = 324

Nên phương trình trên có 2 nghiệm là: x1 = -8 ( loại) và x2 =10 ( thỏa mãn)

Vậy lúc đầu có 10 ghế băng.

Bài 18 (trang 133 SGK Toán 9 Tập 2)

Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 10cm. Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau 2cm. Tính độ dài những cạnh góc vuông của tam giác vuông đó.

Gợi ý đáp án

Gọi số đo độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó là x(cm), y (cm)

( 0 < y < x < 10)

Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau 2cm nên ta được x – y = 2 , (1).

Theo định lý Pytago ta có: x2 + y2 = 102 = 100 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

X – Y = 2 (1)

vÀ x2 + y2 = 100 (2)

Từ (1) suy ra: x= y+ 2 thay vào (2) ta được:

( y + 2)2 + y2 = 100

⇔ y2+ 4y + 4 + y2 = 100

⇔ 2y2 + 4y – 96 = 0 hay y2 + 2y – 48 = 0

Giải ra ta được: y1 = 6; y2 = -8 < 0 ( loại)

Với y= 6 suy ra x = 8.

Vậy độ dài những cạnh góc vuông của tam giác vuông là 6cm và 8cm.

Giải bài tập phần Hình học Toán 9 tập 2 trang 131

Bài 1 (trang 134 SGK Toán 9 Tập 2)

Chu vi hình chữ nhật ABCD là 20cm. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đường chéo AC.

Gợi ý đáp án

Gọi độ dài một cạnh của hình chữ nhật là x (x > 0, cm)

Nửa chu vi hình chữ nhật là: 20 : 2 = 10 (cm)

Độ dài cạnh sót lại của hình chữ nhật là : 10 – x (cm).

Theo định lý Pytago ta có:

AC2 = x2 + (10 – x)2

= x2 + 100 – 20x + x2

= 2x2 – 20x + 100

= 2(x2 – 10x + 25) + 50

= 2.(x – 5)2 + 50 ≥ 50.

⇒ AC ≥ 5√2

Dấu “=” xảy ra khi (x – 5)2 = 0 ⇔ x = 5.

Vậy đường chéo AC nhỏ nhất là 5√2cm khi ABCD là hình vuông cạnh bằng 5cm.

Bài 2 (trang 134 SGK Toán 9 Tập 2)

Tam giác ABC có góc B = 45o, góc C = 30o. Nếu AC = 8 thì AB bằng:

(A) 4

(B) 4sqrt2

(C) 4sqrt3

(D) 4sqrt6

Hãy chọn câu reply đúng.

Gợi ý đáp án

Hạ AHbot BC (H in BC).

Trong tam giác vuông HAC (widehat H = {90^0})widehat{C}=30^0.

Rightarrow AH = AC.sin 30^0=8.dfrac {1}2 = 4(cm).

Xét ∆HAB là tam giác vuông cân tại H có:

AH = BH = 4 (cm).

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông HAB ta có:

AB = sqrt {H{A^2} + H{B^2}} = sqrt {{4^2} + {4^2}} = sqrt {32} = 4sqrt 2

Vậy AB = 4sqrt2 cm.

Chọn đáp án B.

Bài 3 (trang 134 SGK Toán 9 Tập 2)

Cho tam giác ABC vuông ở C có đường trung tuyến BN vuông góc với đường trung tuyến CM, cạnh BC = a. Tính độ dài đường trung tuyến BN.

Gợi ý đáp án

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có: displaystyle BG = {2 over 3}BN.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông CNB có đường cao CG ta có:

eqalign{
& B{C^2} = BN.BG = BN.{2 over 3}BN = {2 over 3}B{N^2} cr
& Rightarrow B{N^2} = {3 over 2}B{C^2} = {{3{a^2}} over 2} cr
& Rightarrow BN = sqrt {{{3{{rm{a}}^2}} over 2}} = {{asqrt 3 } over {sqrt 2 }} = {{asqrt 6 } over 2}. cr}

Vậy displaystyle BN = {{asqrt 6 } over 2}.

Bài 4 (trang 134 SGK Toán 9 Tập 2)

Nếu tam giác vuông ABC vuông tại C và có displaystyle sin {rm{A}} = {2 over 3} thì tan B bằng:

(A) displaystyle {3 over 5}

(B) displaystyle {{sqrt 5 } over 3}

(C) displaystyle{2 over {sqrt 5 }}

(D) displaystyle {{sqrt 5 } over 2}

Hãy chọn câu reply đúng.

Gợi ý đáp án

Trong tam giác vuông ABCleft( {widehat C = {{90}^0}} right), ta có:

displaystyle sin {rm{A}} = {{BC} over {AB}} = {2 over 3} Rightarrow AB = {3 over 2}BC

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông ABC, ta có:

eqalign{
& AC = sqrt {A{B^2} - B{C^2}} = sqrt {{{left( {{3 over 2}BC} right)}^2} - B{C^2}} cr
& AC = sqrt {{5 over 4}B{C^2}} = {{BCsqrt 5 } over 2} cr}

Ta có:displaystyle tan B = {{AC} over {BC}} = {{displaystyle BC{{sqrt 5 } over displaystyle 2}} over {BC}} = {{sqrt 5 } over 2}

Chọn đáp án D.

Bài 5 (trang 134 SGK Toán 9 Tập 2)

Tam giác ABC vuông tại C có AC = 15cm. Đường cao CH chia AB thành hai đoạn AH và HB. Biết HB = 16cm. Tính diện tích tam giác ABC.

Gợi ý đáp án

Đặt AH = x (x > 0).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có đường cao AH ta có: AC^2 = AB.AH

begin{array}{l}
Leftrightarrow {15^2} = left( {x + 16} right)x\
Leftrightarrow {x^2} + 16x - 225 = 0\
Leftrightarrow left( {x - 9} right)left( {x + 25} right) = 0\
Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x - 9 = 0\
x + 25 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 9;;left( {tm} right)\
x = - 25;;left( {ktm} right)
end{array} right..\
Rightarrow AH = 9;cm.
end{array}

Ta có: HC^2 = AH. HB = 9. 16 = 144

Vậy diện tích tam giác ABC là:

displaystyle S = {1 over 2}AB.CH = {1 over 2}.(16+9).12 = 150(c{m^2}).

Bài 6 (trang 134 SGK Toán 9 Tập 2)

Một hình chữ nhật cắt đường tròn như hình 121 biết AB = 4, BC = 5, DE = 3 (với cùng đơn vị đo).

Độ dài EF bằng:

A. 6

C. 20/3

B. 7

D.8

Gợi ý đáp án

Gọi O là tâm đường tròn. Từ O kẻ nửa đường kính vuông góc với BC, cắt BC ở G, cắt EF ở H.

Ta có: G, H lần lượt là trung điểm BC và EF.

BG = BC/2 = 2,5

⇒ AG = AB + BG = 6,5

⇒ DH = AG = 6,5

⇒ EH = DH – DE = 3,5

⇒ EF = 2.EH = 7.

Vậy chọn đáp án B.

Bài 7 (trang 134 SGK Toán 9 Tập 2)

Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC. Trên những cạnh AB, AC lần lượt lấy những điểm di động D và E sao cho góc DOE = 60o.

a) chứng tỏ tích BD.CE không đổi.

b) chứng tỏ ΔBOD ∼ ΔOED. Từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của góc BDE.

c) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB. chứng tỏ rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với DE.

Gợi ý đáp án

a) chứng tỏ tích BD.CE không đổi.

Ta có widehat {DOC} là góc ngoài của ∆ BDO nên:widehat {DOC} = widehat B + {widehat D_1}

hay widehat {{O_1}} + widehat {{O_2}} = widehat B + widehat {{D_1}} Leftrightarrow {60^0} + widehat {{O_2}} = {60^0} + widehat {{D_1}}

Leftrightarrow widehat {{O_2}} = widehat {{D_1}}

Xét hai tam giác: ∆BOD và ∆CEO, ta có: widehat B = widehat C = {60^0} (gt) và widehat {{O_2}} = widehat {{D_1}} (cmt)

⇒ ∆BOD đồng dạng ∆CEO (g.g)

displaystyle Rightarrow {{B{rm{D}}} over {BO}} = {{CO} over {CE}} Rightarrow B{rm{D}}.CE = BO.CO

hay displaystyle B{rm{D}}.CE = {{BC} over 2}.{{BC} over 2} = {{B{C^2}} over 4} (không đổi)

Vậy displaystyle B{rm{D}}.CE = {{B{C^2}} over 4} không đổi

b) chứng tỏ ΔBOD đồng dạng ΔOED

Từ câu (a) ta có: ∆BOD đồng dạng ∆CEO

displaystyle B{rm{D}}.CE = {{B{C^2}} over 4}

widehat B = widehat {DOE} = {60^0}

Vậy ΔBOD đồng dạng ΔOED (c.g.c) Rightarrow widehat {B{rm{D}}O} = widehat {O{rm{D}}E}

hay DO là tia phân giác của góc BDE

c) Vẽ OK bot DE và gọi I là tiếp điểm của (O) với AB, khi đó OI bot AB. Xét hai tam giác vuông: IDO và KDO, ta có:

DO chung

widehat {{D_1}} = widehat {{D_2}} (do DO là tia phân giác của góc BDE)

Vậy ΔIDO= ΔKDO (ch – gn) ⇒ OI = OK (những cạnh tương ứng).

Điều này chứng tỏ rằng OK là nửa đường kính của (O) và OK bot DE nên K là tiếp điểm của DE với (O) hay DE tiếp xúc với đường tròn (O).

Bài 8 (trang 134 SGK Toán 9 Tập 2)

Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài (R > r). Hai tiếp tuyến chung AB và A’B’ của hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại P (A và A’ thuộc đường tròn (O’), B và B’ thuộc đường tròn (O)). Biết PA = AB = 4 cm. Tính diện tích hình tròn (O’).

Gợi ý đáp án

Vì AB là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) nên OB bot AB và O’A bot AB

Xét hai tam giác vuông OPB và O’AP, ta có:

widehat A = widehat B = {90^0}

widehat {{P_1}} chung

Vậy ΔOBP đồng dạng ∆ O’AP

eqalign{
& Rightarrow {r over R} = {{PO'} over {PO}} = {{PA} over {PB}} = {4 over 8} = {1 over 2} cr
& Rightarrow R = 2{rm{r}} cr}

Ta có PO’ = OO’ = R + r = 3r (do AO’ là đường trung bình của ∆OBP)

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông O’AP

O’P^2 = O’A^2 + AP^2 hay {left( {3r} right)^2} = {rm{ }}{r^2} + {rm{ }}{4^{2}} Leftrightarrow {rm{ }}9{r^2} = {rm{ }}{r^2} + {rm{ }}16{rm{ }}

Leftrightarrow {rm{ }}8{rm{ }}{r^2} = 16{rm{ }} Leftrightarrow {rm{ }}{r^2} = {rm{ }}2

Diện tích đường tròn (O’;r) là:

S = π. r^2 = π.2 = 2π (cm^2)

Bài 9 (trang 135 SGK Toán 9 Tập 2)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O’) và ngoại tiếp đường tròn (O). Tia AO cắt đường tròn (O’) tại D. Ta có:

(A) CD = BD = O’D ;

(B) AO = CO = OD

(C) CD = CO = BD ;

(D) CD = OD = BD

Hãy chọn câu reply đúng.

Gợi ý đáp án

Vì AC và BC tiếp xúc với đường tròn (O), AD đi qua O nên ta có AD là phân giác góc BAC (vì tâm đường tròn nội tiếp trong tam giác là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác)

Nên widehat {CA{rm{D}}} = widehat {BA{rm{D}}} = alpha

Lại cówidehat {CA{rm{D}}}là góc nội tiếp chắn cung CD, widehat {BA{rm{D}}} là góc nội tiếp chắn cung BD

⇒ overparen{CD}=overparen{DB} (hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau)

⇒CD = DB (*) (hai cung bằng nhau căng 2 dây bằng nhau)

tương tự như, CO là tia phân giác của góc C nên:

widehat {AC{rm{O}}} = widehat {BCO} = beta .

Mặt khác: widehat {DCO} = widehat {DCB} + widehat {BCO} = alpha + beta , ,(1) (do widehat {BA{rm{D}}} = widehat {BC{rm{D}}})

Ta có: widehat {CO{rm{D}}} là góc ngoài của ∆ AOC nên

widehat {CO{rm{D}}} = widehat {OAC} + widehat {OC{rm{A}}} = beta + alpha , , (2)

Từ (1) và (2) ta có: widehat {OC{rm{D}}} = widehat {CO{rm{D}}}

Vậy ∆DOC cân tại D (2*)

Từ (*) và (2*) suy ra CD = OD = BD.

Chọn đáp án D.

Bài 10 (trang 135 SGK Toán 9 Tập 2)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). những cung nhỏ AB, BC, CA có số đo lần lượt là x + 75^0, 2x + 25^0, 3x - 22^0. Một góc của tam giác ABC có số đo là:

(A) 57^05 ;

(B) 59^0 ;

(C) 61^0 ;

(D) 60^0

Gợi ý đáp án

Vì những cung AB, BC, CA tạo thành đường tròn, do đó:

(x + {75^0}) + (2x + {25^0}) + (3x - {22^0}) = {360^0}

Leftrightarrow 6x + {78^0} = {360^0} Leftrightarrow 6x = {282^0} Leftrightarrow x = {47^0}

Vậy sđoverparen{AB}=x + {75^0} = {47^0} + {75^0} = {122^0}

displaystyle Rightarrow widehat C = {{{sđoverparen{AB}}} over 2}= {{{{122}^0}} over 2} = {61^0} (vì góc C là góc nội tiếp chắn cung AB)

sđoverparen{BC} =2x + {25^0} = {2.47^0} + {25^0} = {119^0} displaystyle Rightarrow widehat A = {{{sđoverparen{BC}}} over 2}= {{{{119}^0}} over 2} = 59,{5^0} (vì góc A là góc nội tiếp chắn cung BC)

sđoverparen{AC}=3x - {22^0} = {3.47^0} - {22^0} = {119^0} displaystyle Rightarrow widehat B = {{{sđoverparen{AC}}} over 2}={{{{119}^0}} over 2} = 59,{5^0} (vì góc B là góc nội tiếp chắn cung AC)

Chọn đáp án C

Bài 11 (trang 135 SGK Toán 9 Tập 2)

Từ một điểm P ở ngoài đường tròn (O), kẻ cát tuyến PAB và PCD tới đường tròn. Gọi Q là một điểm nằm trên cung nhỏ BD (không chứa A và C) sao cho sđoverparen{BQ}=42^0sđoverparen{QD}=38^0. Tính tổng widehat {BP{rm{D}}} + widehat {AQC}.

Gợi ý đáp án

Ta có widehat {BP{rm{D}}} là góc ở ngoài đường tròn (O) nên:

displaystyle widehat {BPD} = {sđoverparen{BQD} -sđoverparen{AC}over 2} (góc có đỉnh nẳm ngoài đường tròn chắn cung AC và BD).

Ta có widehat {AQC} là góc nội tiếp trong đường tròn (O) nên:

displaystyle widehat {AQC} = {1 over 2}sđoverparen{AC} (góc nội tiếp chắn cung AC).

displaystyle Rightarrow widehat {BPD} + widehat {AQC} = {sđoverparen{BQD} -sđoverparen{AC} over 2} + {1 over 2}sđoverparen{AC}

displaystyle ={1 over 2}sđoverparen{BQD}={{{{42}^0} + {{38}^0}} over 2} = {40^0}.

Vậy widehat {BP{rm{D}}} + widehat {AQC} = {40^0}.

Bài 12 (trang 135 SGK Toán 9 Tập 2)

Một hình vuông và một hình tròn có chu vi bằng nhau. Hỏi hình nào có diện tích lớn hơn?

Gợi ý đáp án

Giả sử gọi cạnh hình vuông là a và nửa đường kính đường tròn là R.

Khi đó, chu vi hình vuông là 4a và chu vi hình tròn là 2πR.

Theo đề bài ra ta có: displaystyle 4{rm{a}} = 2pi R Rightarrow a = {{pi R} over 2}

Ta lập tỉ số diện tích hình vuông và hình tròn:

displaystyle {{{S_{hv}}} over {{S_{htr}}}} = {{{a^2}} over {pi {R^2}}} =displaystyle {{{{left( {{{pi R} over 2}} right)}^2}} over {pi {R^2}}} displaystyle ={{{pi ^2}{R^2}} over {4pi {R^2}}} = {pi over 4} < 1 (vì π ≈ 3,14)

Rightarrow {S_{hv}} < {S_{htr}}

Vậy hình tròn có diện tích lớn hơn hình vuông.

Bài 13 (trang 135 SGK Toán 9 Tập 2)

Cho đường tròn (O), cung BC có số đo bằng 120^0, điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Trên tia đối tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. Hỏi điểm D di chuyển trên đường nào?

Gợi ý đáp án

Ta có displaystyle widehat A = {1 over 2}sđoverparen{BC}= {60^0}; displaystyle widehat {B{rm{D}}C} = {1 over 2}{.60^0} = {30^0}. (số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn.)

Như vậy, điểm D tạo với hai mút của đoạn thẳng BC cố định một góc widehat {B{rm{D}}C} = {30^0} nên D chuyển động trên cung chứa góc 30^0 dựng trên BC.

Ta có, khi A ≡ B thì D ≡ E và khi A ≡ C thì D ≡ C.

Vậy khi A di chuyển trên cung lớn BC thì D di chuyển trên cung CE thuộc cung chứa góc 30^0 dựng trên BC.

Bài 14 (trang 135 SGK Toán 9 Tập 2)

Dựng tam giác ABC, biết BC = 4cm, góc widehat {A} = 60^0, nửa đường kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 1cm.

Gợi ý đáp án

Phân tích:

Giả sử dựng được ΔABC thỏa mãn điều kiện.

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

widehat {BOC} = 180^circ - left( {widehat {OBC} + widehat {OCB}} right) \= 180^circ - dfrac{1}{2}left( {widehat {ABC} + widehat {ACB}} right) = 180^circ - dfrac{1}{2}left( {180^circ - widehat A} right) \= 180^circ - dfrac{1}{2}left( {180^circ - 60^circ } right) = 120^circ

⇒ O thuộc cung chứa góc 120º dựng trên đoạn BC.

+ nửa đường kính đường tròn nội tiếp ΔABC bằng 1

⇒ O cách BC 1cm

⇒ O thuộc d // BC và cách BC 1cm.

Vậy O là giao của cung chứa góc 120º dựng trên đoạn BC và đường thẳng d.

Cách dựng:

Dựng BC = 4cm và đường thẳng (d) song song với BC và cách BC một khoảng là 1cm.

Tâm O của đường tròn nội tiếp ∆ABC là giao điểm của đường thẳng (d) với cung chứa góc {120^0} dựng trên đoạn BC cố định.

Qua B và C vẽ những tiếp tuyến với (O;1cm), chúng cắt nhau tại A. Tam giác ABC là tam giác phải dựng.

chứng tỏ:

+ Theo cách dựng có BC = 4cm .

+ O thuộc cung 120º dựng trên đoạn BC Rightarrow widehat {BOC} = {120^0}

+ A là giao của 2 tiếp tuyến

⇒ (O; 1cm) tiếp xúc với AB và AC

Mà khoảng cách từ O đến BC = 1cm

⇒ (O; 1cm) cũng tiếp xúc với BC

⇒ (O; 1cm) là đường tròn nội tiếp ΔABC

Rightarrow widehat {BAC} = dfrac{1}{2}widehat {BOC} = dfrac{{{{120}^0}}}{2} = {60^0}

(số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm)

Vậy ΔABC có BC = 4cm, widehat {BAC} = {60^0} đường tròn nội tiếp có nửa đường kính 1cm thỏa mãn yêu cầu.

Biện luận:

Vì d cắt m tại hai điểm nên bài toán có hai nghiệm hình ΔABC và ΔA’BC như hình vẽ.

Bài 15 (trang 135 SGK Toán 9 Tập 2)

Tam giác ABC cân tại A có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn (O).Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn lần lượt cắt tia AC và tia AB ở D và E. chứng tỏ:

a) BD2 = AD.CD

b) Tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp

c) BC song song với DE

Gợi ý đáp án

a) Xét ∆ADB và ∆BDC, ta có:

widehat {BA{rm{D}}} = widehat {CB{rm{D}}} ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BC).

widehat {{D_1}} góc chung

Vậy ∆ADB đồng dạng ∆BDC ⇒ displaystyle {{B{rm{D}}} over {C{rm{D}}}} = {{A{rm{D}}} over {B{rm{D}}}} (g-g)

Rightarrow B{{rm{D}}^2} = A{rm{D}}.C{rm{D}} (đpcm)

b) Ta có widehat widehat {A{rm{E}}C} là góc có đỉnh ở bên phía ngoài (O)

displaystyle widehat {AEC} = {sđoverparen{AC}-sđoverparen{BC}over 2} = { sđoverparen{AB}-sđoverparen{BC}over 2} = widehat {ADB}

Xét tứ giác BCDE, ta có: widehat {A{rm{E}}C}widehat {ADB} là hai góc kề cạnh ED cùng nhìn đoạn BC dưới những góc bằng nhau widehat {A{rm{E}}C} = widehat {ADB} .

Vậy tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn

c) Ta có: widehat {ACB} + widehat {BC{rm{D}}} = {180^0} (hai góc kề bù).

hay widehat {ABC} + widehat {BC{rm{D}}} = {180^0} (∆ABC cân tại A)

Rightarrow widehat {ABC} = {180^0} - widehat {BC{rm{D}}}(1)

Vì BCDE là tứ giác nội tiếp nên

widehat {BE{rm{D}}} + widehat {BC{rm{D}}} = {180^0} Rightarrow widehat {BE{rm{D}}} = {180^0} - widehat {BC{rm{D}}}(2)

So sánh (1) và (2), ta có: widehat {ABC} = widehat {BE{rm{D}}}

Ta cũng có thể có: widehat {ABC}widehat {BE{rm{D}}} là hai góc đồng vị. Suy ra: BC // DE (đpcm)

Bài 16 (trang 135 SGK Toán 9 Tập 2)

Một mặt phẳng chứa trục OO’ của một hình trụ; phần mặt phẳng nằm trong hình trụ là một hình chữ nhật có chiều dài 3cm, chiều rộng 2cm.Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ đó.

Gợi ý đáp án

Xét hai trường hợp:

a) Đường cao hình trụ bằng 3cm, đường kính đáy trụ bằng 2cm (hình a)

⇒ nửa đường kính đáy trụ: R = 1cm.

Sxq = 2πRh = 2π.1.3 = 6π (cm2)

V = πR2h = π.12.3 = 3π (cm3)

b) Đường cao hình trụ bằng 2cm, đường kính đáy trụ bằng 3cm

⇒ nửa đường kính đáy trụ: R = 1,5 cm

Sxq = 2πRh = 2π.1,5.2 = 6π (cm2)

V = πR2h = π.(1,5)2.2 = 4,5π (cm3)

Bài 17 (trang 135 SGK Toán 9 Tập 2)

Khi quay tam giác ABC vuông ở A một vòng quanh cạnh góc vuông AC cố định, ta được một hình nón. Biết rằng BC = 4dm, góc ACB = 30o. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón.

Gợi ý đáp án

Trong tam giác vuông ABC, ta có:

eqalign{
& AB = BC.sin C = BC.sin {30^0} = 4.{1 over 2} = 2left( {dm} right) cr
& AC = BC.cos C = BC.cos {30^0} = 4.{{sqrt 3 } over 2} cr&= 2sqrt 3 left( {dm} right) cr}

Ta có: S_{xq}= πRl = π. 2. 4 = 8 π (dm^2).

displaystyle V = {1 over 3}pi {R^2}h = {1 over 3}pi {.2^2}.2sqrt 3 = {{8sqrt 3 .pi } over 3}(d{m^3}).

Bài 18 (trang 135 SGK Toán 9 Tập 2)

Một hình cầu có số đo diện tích (đơn vị:m^2) bằng số đo thể tích (đơn vị: m^3). Tính nửa đường kính hình cầu, diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu.

Gợi ý đáp án

Gọi R là nửa đường kính hình cầu (đơn vị : mét)

Khi đó ta có: S = 4πR^2 và displaystyle V = {4 over 3}pi {R^3}

Theo đề bài ta có: displaystyle 4pi {R^2} = {4 over 3}pi {R^3} Rightarrow {R over 3} = 1 Rightarrow R = 3(m)

Ta có: S = 4πR^2 = 4π . 3^2= 36π (m^2)

displaystyle V = {4 over 3}pi {R^3} = {4 over 3}pi {.3^3} = 36pi left( {{m^3}} right).

Có thể bạn quan tâm:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *