Giải bài tập SGK Toán 9 Tập 2 trang 124, 125, 126 giúp những em học viên lớp 9 xem gợi ý giải những bài tập của Bài 3: Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu. trải qua đó, những em sẽ biết cách giải toàn bộ những bài tập của bài 3 Chương 4 phần Hình học trong sách giáo khoa Toán 9 Tập 2.

Giải Toán 9 Bài 3: Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

  • Lý thuyết Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu
  • Giải bài tập toán 9 trang 124, 125, 126 tập 2
    • Bài 30 (trang 124 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 31 (trang 124 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 32 (trang 125 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 33 (trang 125 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 34 (trang 125 SGK Toán 9 Tập 2)
  • Giải bài tập toán 9 trang 126 tập 2
    • Bài 35 (trang 126 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 36 (trang 126 SGK Toán 9 Tập 2)
    • Bài 37 (trang 126 SGK Toán 9 Tập 2)

Lý thuyết Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

1. Hình cầu

Khi quay nửa hình tròn tâm O, nửa đường kính R một vòng quanh đường kính AB cố định thì được một hình cầu.

– Điểm O được gọi là tâm, độ dài R là nửa đường kính của hình cầu.

– Nửa đường tròn trong phép quay nói trên tạo ra mặt cầu

2. Diện tích mặt cầu

Công thức diện tích mặt cầu: S = 4pi {R^2} = pi {d^2}

R là nửa đường kính, d là đường kính mặt cầu.

3. Thể tích hình cầu

Thể tích hình cầu nửa đường kính R :displaystyle V ={4 over 3}pi {R^3}

Giải bài tập toán 9 trang 124, 125, 126 tập 2

Bài 30 (trang 124 SGK Toán 9 Tập 2)

Nếu thể tích của một hình cầu là 113frac{1}{7}cm3 thì trong những kết quả tiếp sau này, kết quả nào là nửa đường kính của nó (lấy displaystyle pi = {{22} over 7})?

(A) 2 cm

(B) 3 cm

(C) 5 cm

(D) 6 cm ;

(E) Một kết quả khác.

Thể tích hình cầu nửa đường kính R là: V=dfrac{4 }{3}pi R^3.

Gợi ý đáp án

Từ công thức:

displaystyle V = {4 over 3}pi {R^3} Rightarrow R^3 = {{3V} over {4pi }} \

Leftrightarrow R^3= dfrac{3.113 dfrac{1}{7}}{4.dfrac{22}{7}}Leftrightarrow R^3 = 27.

Suy ra: R = 3

Vậy chọn B.

Bài 31 (trang 124 SGK Toán 9 Tập 2)

Hãy điền vào những ô trống ở bảng sau:

nửa đường kính hình cầu 0,3mm 6,21dm 0,283m 100km 6hm 50dam
Diện tích mặt cầu
Thể tích hình cầu

Gợi ý đáp án

Cách tính

Dòng thứ nhất : S = 4πR2 . Thay số vào ta được

R = 0,3 mm ⇒ S = 4.3,14. 0,32 = 1,13 (mm2)

R = 6,21 dm ⇒ S = 4.3,14. 6,212 = 484,37 (dm2)

R = 0,283 m ⇒ S = 4.3,14. 0,2832 = 1,01 (m2)

R = 100 km ⇒ S = 4.3,14. 1002 = 125600 (km2)

R = 6 hm ⇒ S = 4.3,14. 62 = 452,16 (hm2)

R = 50 dam ⇒ S = 4.3,14. 50 2= 31400 (dam2)

Dòng thứ hai : V = 4/3 πR3 thay số vào ta được :

R = 0,3 mm ⇒ V = 4/3.3,14.0,33 = 0,113 (mm3)

R = 6,21 dm ⇒ V = 4/3.3,14. 6,213 = 1002,64 (dm3)

R = 0,283 m ⇒ V = 4/3.3,14. 0,283 3= 0,095 (m3)

R = 100 km ⇒ V = 4/3.3,14. 1003 = 4186666,67 (km3)

R = 6 hm ⇒ V = 4/3.3,14. 63 = 904,32 (hm3)

R = 50 dam ⇒ V = 4/3.3,14. 503 = 523333,34 (dam3)

Ta được bảng sau:

nửa đường kính hình cầu 0,3mm 6,21dm 0,283m 100km 6hm 50dam
Diện tích mặt cầu 1,13mm2 484,37dm2 1,01m2 125699km2 452,16hm2 31400dam2
Thể tích hình cầu 0,113mm3 1002,64dm3 0,095m3 4186666,67km3 904,32hm3 523333,34dam3

Bài 32 (trang 125 SGK Toán 9 Tập 2)

Một khối gỗ dạng hình trụ, nửa đường kính đường tròn đáy là r, chiều cao 2r (đơn vị :cm). Người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu như hình 108. Hãy tính diện tích bề mặt của khối gỗ còn sót lại (diện tích cả ngoài lẫn trong).

Gợi ý đáp án

Diện tích phần cần tính gồm diện tích xung quanh của một hình trụ nửa đường kính đường tròn đáy r (cm), chiều cao là 2r (cm) và một mặt cầu nửa đường kính r (cm).

Diện tích xung quanh của hình trụ:

Sxq = 2πrh = 2πr.2r = 4πr2

Diện tích mặt cầu:

S = 4πr2

Diện tích cần tính là:

4πr2 + 4πr2 = 8πr2

Bài 33 (trang 125 SGK Toán 9 Tập 2)

Dụng cụ thể thao.

những loại bóng cho trong bảng đều có dạng hình cầu. Hãy điền vào những ô trống ở bảng sau(làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):

Loại bóng Quả bóng gôn Quả khúc côn cầu Quả ten-nit Quả bóng bàn Quả bi-a
Đường kính 42,7mm 6,5cm 40mm 61mm
Độ dài đường tròn lớn 23cm
Diện tích
Thể tích

Gợi ý đáp án

Lấy pi approx 3,14

+ Quả bóng gôn: Khi d = 42,7mm = 4,27cm, suy ra R approx 2,14cm

– Độ dài đường tròn lớn C = pi d approx 13,41left( {cm} right).

– Diện tích S = pi {d^2} = pi .4,{27^2} approx 57,25left( {c{m^2}} right)

– Thể tích V = dfrac{4}{3}pi {R^3} = dfrac{4}{3}.3,14.{left( {2,14} right)^3} approx 41,03c{m^3}

+ Quả khúc côn cầu: Khi C = 23cm Rightarrow d = dfrac{C}{pi } approx 7,32left( {cm} right)R approx 3,66left( {cm} right).

– Diện tích S = pi {d^2} = 7,{32^2}.3,14 approx 168,25left( {c{m^2}} right)

– Thể tích V = dfrac{4}{3}pi {R^3} = dfrac{4}{3} cdot 3,14 cdot 3,{66^3} approx 205,26left( {c{m^3}} right).

+ Quả ten-nít: Khi d = 6,5cm Rightarrow R = 3,25cm.

– Độ dài đường tròn lớn C = pi d approx 20,41left( {cm} right).

– Diện tích S = pi {d^2} approx pi .6,{5^2} approx 132,67left( {c{m^2}} right).

– Thể tích V = dfrac{4}{3}pi {R^3} approx dfrac{4}{3} cdot 3,14 cdot 3,{25^3} approx 143,72left( {c{m^3}} right).

+ Quả bóng bàn: Khi d = 40mm = 4cm ⇒ R = 2cm.

– Độ dài đường tròn lớn C = pi d approx 12,56left( {cm} right).

– Diện tích S = pi {d^2} approx 3,{14.4^2} approx 50,24left( {c{m^2}} right).

– Thể tích V = dfrac{4}{3}pi {R^3} approx dfrac{4}{3} cdot 3,14 cdot {2^3} approx 33,49left( {c{m^3}} right).

+ Quả bi-a: Khi d = 61mm = 6,1cm, suy ra R = 3,05left( {cm} right).

– Độ dài đường tròn lớn C = pi d approx 19,15left( {cm} right).

– Diện tích S = pi {d^2} approx 3,14.6,{1^2} approx 116,84left( {c{m^2}} right).

– Thể tích V = dfrac{4}{3}pi {R^3} approx dfrac{4}{3} cdot 3,14 cdot 3,{05^3} approx 118,79left( {c{m^3}} right).

Điền kết quả vào bảng trên ta có :

Loại bóng Quả bóng gôn Quả khúc côn cầu Quả ten-nit Quả bóng bàn Quả bi-a
Đường kính 42,7mm 7,32cm 6,5cm 40mm 61mm
Độ dài đường tròn lớn 134,08mm 23cm 20,41cm 125,6mm 171,71mm
Diện tích 57,25cm2 168,25cm2 132,67cm2 5024mm2 11683,94mm2
Thể tích 40,74cm3 205,26cm3 143,72cm3 33,49 cm3 118,79cm3

Bài 34 (trang 125 SGK Toán 9 Tập 2)

Khinh khí cầu của nhà Mông-gôn-fi-ê (Montgolfier)

Ngày 4-6-1783, anh em nhà Mông-gôn-fi-ê (người Pháp) ý tưởng phát minh ra khinh khí cầu dùng không khí nóng. Coi khinh khí cầu này là hình cầu có đường kính 11m. Hãy tính diện tích mặt khinh khí cầu đó (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Gợi ý đáp án

Diện tích mặt khinh khí cầu là:

S= πd2=3,14.112=379,94 ( m2)

Giải bài tập toán 9 trang 126 tập 2

Bài 35 (trang 126 SGK Toán 9 Tập 2)

một chiếc bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (h.110).

Hãy tính thể tích của bồn chứa theo những kích thước cho trên hình vẽ.

Gợi ý đáp án

Thể tích cần tính gồm một hình trụ và hai nửa hình cầu.

– Hình cầu có đường kính d = 1,8m ⇒ nửa đường kính R = 0,9m

– Hình trụ có nửa đường kính đáy bằng nửa đường kính hình cầu R = 0,9m; chiều cao h = 3,62m.

Thể tích hình trụ: V1 = π.R2.h ≈ 9,21 (m3).

Thể tích hai nửa hình cầu:. V2  = 4/3 π.R3≈ 3.05 (m3)

Thể tích bồn chứa xăng: V = V1 + V2 ≈ 12,26(m3).

Bài 36 (trang 126 SGK Toán 9 Tập 2)

Một chi tiết máy gồm một hình trụ và hai nửa hình cầu với những kích thước đã cho trên hình 111 (đơn vị: cm).

a) Tìm một hệ thức giữa x và h khi AA’ có độ dài không đổi và bằng 2a.

b) Với điều kiện ở a), hãy tính diện tích bề mặt và thể tích của chi tiết máy theo x và a.

Gợi ý đáp án

a) Ta có: AA’ = AO + OO’ + O’A’

hay 2a = x + h + x

hay 2x + h = 2a.

b) Diện tích cần tính gồm diện tích xung quanh của hình trụ có nửa đường kính đáy là x, chiều cao là h và diện tích mặt cầu có nửa đường kính là x.

– Diện tích xung quanh của hình trụ: {S_{trụ}} = {rm{ }}2pi xh

– Diện tích mặt cầu:{S_{cầu}} = {rm{ }}4pi {x^2}

Nên diện tích bề mặt của chi tiết máy là:

S{rm{ }} = {rm{ }}{S_{trụ}} + {S_{cầu}}= 2pi xh{rm{ }} + 4pi {x^{2}}

= 2pi xleft( {h + 2x} right){rm{ }} = {rm{ }}4pi ax.

Thể tích cần tìm gồm thể tích hình trụ và thể tích hình cầu. Ta có:

{V_{trụ}}{rm{ }} = pi {x^2}h

displaystyle {V_{cầu}} = {4 over 3}pi {x^3}

Nên thể tích của chi tiết máy là:

displaystyle V = {V_{trụ}} + {V_{cầu}} = pi {x^2}h + {4 over 3}pi {x^3}

mà h+2x=2a (câu a) nên h=2a-2x=2(a-x)

Rightarrow V displaystyle = 2pi {x^2}(a - x) + {4 over 3}pi {x^3} = 2pi {x^2}left( {a - {1 over 3}x} right).

Bài 37 (trang 126 SGK Toán 9 Tập 2)

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, Ax và By là hai tiếp tuyến với nửa đường tròn tại A và B. Lấy trên tia Ax điểm M rồi vẽ tiếp tuyến MP cắt By tại N.

a) minh chứng rằng MON và APB là hai tam giác vuông đồng dạng.

b) minh chứng rằng AM.BN = R^2

c) Tính tỉ số dfrac{S_{MON}}{S_{APB}}khi AM = dfrac{R}{2}.

d) Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quanh AB sinh ra.

a) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và tính chất tứ giác nội tiếp

b) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và hệ thức lượng trong tam giác vuông

c) Sử dụng: “ Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng”

d) Thể tích hình cầu nửa đường kính R là V = dfrac{4}{3}pi {R^3}.

Gợi ý đáp án

a) + Xét nửa đường tròn left( O right) có MA,MP là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M nên OM là phân giác widehat {AOP} Rightarrow widehat {{O_2}} = widehat {{O_1}} (1)

tương tự như ta có NB,NP là hai tiếp tuyến cắt nhau tại N nên ON là phân giác widehat {BOP} Rightarrow widehat {{O_3}} = widehat {{O_4}} (2)

widehat {NPO} = widehat {NBO} = 90^circ

widehat {{O_1}} + widehat {{O_2}} + widehat {{O_3}} + widehat {{O_4}} = 180^circ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có widehat {{O_2}} + widehat {{O_3}} = widehat {{O_1}} + widehat {{O_4}}\ = dfrac{{widehat {{O_1}} + widehat {{O_2}} + widehat {{O_3}} + widehat {{O_4}}}}{2} = dfrac{{180^circ }}{2} = 90^circ

Hay widehat {MON} = 90^circ

+ Lại có widehat {APB} = 90^circ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

+ Xét tứ giác OPNB có widehat {NPO} = widehat {NBO} = 90^circc nên widehat {NPO} + widehat {NBO} = 90^circ + 90^circ = 180^circmà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác OPNB là tứ giác nội tiếp, suy ra widehat {PBO} = widehat {PNO}(cùng nhìn cạnh PO)

Xét Delta MONDelta APBwidehat {MON} = widehat {APB}left( { = 90^circ } right)widehat {PBA} = widehat {MNO},left( {cmt} right) nên Delta APB backsim Delta MONleft( {g - g} right) (đpcm)

b) + Xét nửa đường tròn left( O right) có MA,MP là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M và NB,NP là hai tiếp tuyến cắt nhau tại N nên MA = MP;NP = NB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ Xét tam giác MON vuông tại O có OP bot MN (do MN là tiếp tuyến của left( O right)) nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có O{P^2} = MP.PN

Mà MA = MP;NP = NB (cmt) và OP = R nên O{P^2} = MP.PN Leftrightarrow {R^2} = AM.BN (đpcm)

c) Vì AM = dfrac{R}{2}AM.BN = {R^2} (câu b) nên BN = dfrac{{{R^2}}}{{AM}} = dfrac{{{R^2}}}{{dfrac{R}{2}}} = 2R

Suy ra MP = MA = dfrac{R}{2};NP = NB = 2R

MN = MP + NP = dfrac{R}{2} + 2R = dfrac{5}{2}R.

Delta MON sim Delta APB (câu a) nên tỉ số đồng dạng là k = dfrac{{MN}}{{AB}} = dfrac{{dfrac{5}{2}R}}{{2R}} = dfrac{5}{4}

Suy ra tỉ số diện tích dfrac{{{S_{MON}}}}{{{S_{APB}}}}, = {k^2} = {left( {dfrac{5}{4}} right)^2} = dfrac{{25}}{{16}} (tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng)

d) Nửa hình tròn APB quay sinh ra hình cầu nửa đường kính R nên thể tích hình cầu là V = dfrac{4}{3}pi {R^3}.

Có thể bạn quan tâm:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *