Giải Toán 8: Ôn tập cuối năm trang 130, 131, 132 giúp những em học viên lớp 8 ôn tập, xem thêm gợi ý giải những bài tập trong phần ôn tập cuối năm Toán 8 tập 2. Nhờ đó sẽ nắm được những dạng toán, cũng như ôn tập cuối năm đạt kết quả cao.

Giải Toán 8 Tập 2: Ôn tập cuối năm

  • Giải bài tập phần Đại số Toán 8 tập 2 trang 130, 131
    • Bài 1 (trang 130 SGK Toán 8 Tập 2)
    • Bài 2 (trang 130 SGK Toán 8 Tập 2)
    • Bài 3 (trang 130 SGK Toán 8 Tập 2)
    • Bài 4 (trang 130 SGK Toán 8 Tập 2)
    • Bài 5 (trang 130 SGK Toán 8 Tập 2)
    • Bài 6 (trang 130 SGK Toán 8 Tập 2)
    • Bài 7 (trang 130 SGK Toán 8 Tập 2)
    • Bài 8 (trang 130 SGK Toán 8 Tập 2)
    • Bài 9 (trang 130, 131 SGK Toán 8 Tập 2)
    • Bài 10 (trang 131 SGK Toán 8 Tập 2)
    • Bài 11 (trang 131 SGK Toán 8 Tập 2)
    • Bài 12 (trang 131 SGK Toán 8 Tập 2)
    • Bài 13 (trang 131 SGK Toán 8 Tập 2)
    • Bài 14 (trang 131 SGK Toán 8 Tập 2)
  • Giải bài tập phần Hình học  Toán 8 tập 2 trang 131, 132
    • Bài 1 (trang 131 SGK Toán 8 Tập 2)
    • Bài 2 (trang 131 SGK Toán 8 Tập 2)
    • Bài 3 (trang 131 SGK Toán 8 Tập 2)
    • Bài 4 (trang 132 SGK Toán 8 Tập 2)
    • Bài 5 (trang 132 SGK Toán 8 Tập 2)
    • Bài 6 (trang 132 SGK Toán 8 Tập 2)
    • Bài 7 (trang 132 SGK Toán 8 Tập 2)
    • Bài 8 (trang 132 SGK Toán 8 Tập 2)
    • Bài 9 (trang 132 SGK Toán 8 Tập 2)
    • Bài 10 (trang 132 SGK Toán 8 Tập 2)
    • Bài 11 (trang 132 SGK Toán 8 Tập 2)

Giải bài tập phần Đại số Toán 8 tập 2 trang 130, 131

Bài 1 (trang 130 SGK Toán 8 Tập 2)

Phân tích những đa thức sau thành nhân tử:

a) a2 – b2 – 4a + 4;

b) x2 + 2x – 3;

c) 4x2y2 – (x2 + y2)2 ;

d) 2a3 – 54b3.

Gợi ý đáp án:

a) a2 – b2 – 4a + 4

= a2 – 4a + 4 – b2

= (a – 2)2 – b2

= (a – 2 + b)(a – 2 – b)

= (a + b – 2)(a – b – 2)

b) x2 + 2x – 3

= x2 + 2x + 1 – 4

= (x + 1)2 – 22

= (x + 1 + 2)(x + 1 – 2)

= (x + 3)(x – 1)

c) 4x2y2 – (x2 + y2)2

= (2xy)2 – (x2 + y2)2

= (2xy + x2 + y2)(2xy – x2 – y2)

= – (x2 + 2xy + y2)(x2 – 2xy + y2)

= -(x + y)2 .(x – y)2

d) 2a3 – 54b3

= 2(a3 – 27b3)

= 2[a3 – (3b)3]

= 2(a – 3b)(a2 + 3ab + 9b2)

Bài 2 (trang 130 SGK Toán 8 Tập 2)

a) tiến hành phép chia:

(2x4 – 4x3 + 5x2 + 2x – 3):(2x2 – 1)

b) Chứng tỏ rằng thương tìm được trong phép chia trên luôn luôn dương với mọi giá trị của x.

Gợi ý đáp án:

a) tiến hành phép chia

Bài 2

Vậy (2x4 – 4x3 + 5x2 + 2x – 3) : (2x2 – 1) = x2 – 2x + 3.

b) Ta có:

x2 – 2x + 3

= x2 – 2x + 1 + 2

= (x – 1)2 + 2

Vì (x – 1)2 ≥ 0 với ∀ x

⇒ x2 – 2x + 3 = (x – 1)2 + 2 ≥ 2 > 0 với ∀ x

Vậy thương tìm được luôn luôn dương với mọi giá trị của x.

Bài 3 (trang 130 SGK Toán 8 Tập 2)

minh chứng rằng hiệu những bình phương của hai số lẻ bất kì thì chia hết cho 8.

Gợi ý đáp án:

Gọi hai số lẻ bất kì là 2a + 1 và 2b + 1 (a, b ∈ Z).

Hiệu bình phương của hai số lẻ đó bằng:

(2a + 1)2 – (2b + 1)2

= (4a2 + 4a + 1) – (4b2 + 4b + 1)

= (4a2 + 4a) – (4b2 + 4b)

= 4a(a + 1) – 4b(b + 1)

Tích của hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2

⇒ a.(a + 1) ⋮ 2 và b.(b + 1) ⋮ 2.

⇒ 4a(a + 1) ⋮ 8 và 4b(b + 1) ⋮ 8

⇒ 4a(a + 1) – 4b(b + 1) ⋮ 8.

Vậy (2a + 1)2 – (2b + 1)2 chia hết cho 8 (đpcm).

Bài 4 (trang 130 SGK Toán 8 Tập 2)

Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau tại x = - dfrac{1}{3}:

left[ {dfrac{{x + 3}}{{{{left( {x - 3} right)}^2}}} + dfrac{6}{{{x^2} - 9}} - dfrac{{x - 3}}{{{{left( {x + 3} right)}^2}}}} right]left[ {1:left( {dfrac{{24{x^2}}}{{{x^4} - 81}} - dfrac{{12}}{{{x^2} + 9}}} right)} right]

Gợi ý đáp án:

Điều kiện: xne pm 3

+ Ngoặc vuông thứ nhất:

frac{x+3}{left(x-3right)^2}+frac{6}{x^2-9}-frac{x-3}{left(x+3right)^2}

=frac{x+3}{left(x-3right)^2}+frac{6}{left(x-3right)left(x+3right)}-frac{x-3}{left(x+3right)^2}

=frac{left(x+3right)^3+6left(x-3right)left(x+3right)-left(x-3right)^3}{left(x-3right)^2left(x+3right)^2}

=frac{x^3+9x^2+27x+27+6x^2-54-left(x^3-9x^2+27x+27right)}{left(x-3right)^2left(x+3right)^2}

=frac{24x^2}{left(x-3right)^2left(x+3right)^2}=frac{24x^2}{left(x^2-9right)^2}

+ Ngoặc vuông thứ hai:

eqalign{
& 1:left( {{{24{x^2}} over {{x^4} - 81}} - {{12} over {{x^2} + 9}}} right) cr
& = 1:left[ {{{24{x^2}} over {left( {{x^2} - 9} right)left( {{x^2} + 9} right)}} - {{12} over {{x^2} + 9}}} right] cr
& = 1:left( {{{24{x^2} - 12left( {{x^2} - 9} right)} over {left( {{x^2} - 9} right)left( {{x^2} + 9} right)}}} right) cr
& = 1:{{12{x^2} + 108} over {left( {{x^2} - 9} right)left( {{x^2} + 9} right)}} cr
& = 1.{{left( {{x^2} - 9} right)left( {{x^2} + 9} right)} over {12{x^2} + 108}} cr
& = {{left( {{x^2} - 9} right)left( {{x^2} + 9} right)} over {12{x^2} + 108}} cr
& = {{left( {{x^2} - 9} right)left( {{x^2} + 9} right)} over {12left( {{x^2} + 9} right)}} cr
& = {{{x^2} - 9} over {12}} cr}

Nên

left[ {dfrac{{x + 3}}{{{{left( {x - 3} right)}^2}}} + dfrac{6}{{{x^2} - 9}} - dfrac{{x - 3}}{{{{left( {x + 3} right)}^2}}}} right]left[ {1:left( {dfrac{{24{{rm{x}}^2}}}{{{x^4} - 81}} - dfrac{{12}}{{{x^2} + 9}}} right)} right]

= dfrac{{24{{rm{x}}^2}}}{{{{left( {{x^2} - 9} right)}^2}}}.dfrac{{{x^2} - 9}}{{12}} = dfrac{{2{{rm{x}}^2}}}{{{x^2} - 9}}

Tại x = - dfrac{1}{3} giá trị của biểu thức là:

dfrac{{2{{left( { - dfrac{1}{3}} right)}^2}}}{{{{left( { - dfrac{1}{3}} right)}^2} - 9}} = dfrac{{2.dfrac{1}{9}}}{{dfrac{1}{9} - 9}} = dfrac{{dfrac{2}{9}}}{{ - dfrac{{80}}{9}}} = - dfrac{1}{{40}}

Bài 5 (trang 130 SGK Toán 8 Tập 2)

minh chứng rằng:

dfrac{{{a^2}}}{{a + b}} + dfrac{{{b^2}}}{{b + c}} + dfrac{{{c^2}}}{{c + a}} = dfrac{{{b^2}}}{{a + b}} + dfrac{{{c^2}}}{{b + c}} + dfrac{{{a^2}}}{{c + a}}

Gợi ý đáp án:

Xét hiệu hai vế:

dfrac{a^2}{a + b} + dfrac{b^2}{b + c} + dfrac{c^2}{c + a} - dfrac{b^2}{a + b} - dfrac{c^2}{b + c} - dfrac{a^2}{c + a} \ = dfrac{a^2}{a + b} - dfrac{b^2}{a + b} + dfrac{b^2}{b + c} -dfrac{c^2}{b + c} + dfrac{c^2}{c + a} - dfrac{a^2}{c + a} \ = dfrac{a^2 - b^2}{a + b} + dfrac{b^2 - c^2}{b + c} + dfrac{c^2 - a^2}{c + a} \= dfrac{(a - b)(a + b)}{a + b} + dfrac{(b - c)(b + c)}{b + c} + dfrac{(c - a)(c + a)}{c + a} \ = a - b + b - c + c - a = 0

⇒dfrac{a^2}{a + b} + dfrac{b^2}{b + c} + dfrac{c^2}{c + a} = dfrac{b^2}{a + b} + dfrac{c^2}{b + c} + dfrac{a^2}{c + a} ,,, text{(đpcm)}

Bài 6 (trang 130 SGK Toán 8 Tập 2)

Tìm những giá trị nguyên của x để phân thức M có giá trị là một số nguyên:

M = dfrac{{10{x^2} - 7x - 5}}{{2x - 3}}

Để M nguyên thì tử số phải chia hết cho mẫu số.

Gợi ý đáp án:

Điều kiện: xne dfrac{3}{2}

Ta có:

begin{array}{l}
M = dfrac{{10{x^2} - 7x - 5}}{{2x - 3}}\
= dfrac{{10{x^2} - 15x + 8x - 12 + 7}}{{2x - 3}}\
= dfrac{{5xleft( {2x - 3} right) + 4left( {2x - 3} right) + 7}}{{2x - 3}}\
= dfrac{{left( {5x + 4} right)left( {2x - 3} right) + 7}}{{2x - 3}}\
= dfrac{{left( {5x + 4} right)left( {2x - 3} right)}}{{2x - 3}} + dfrac{7}{{2x - 3}}\
= 5x + 4 + dfrac{7}{{2x - 3}}
end{array}

Như vậy, M = 5{rm{x}} + 4 + dfrac{7}{{2{rm{x}} - 3}}

Do x nguyên nên M có giá trị nguyên khi dfrac{7}{{2x - 3}} có giá trị nguyên.

Tức 2x – 3 là ước của 7  Rightarrow 2{rm{x}} - 3 in left{ { pm 1; pm 7} right}

+) 2x - 3 = 1 Rightarrow 2x = 4 Rightarrow x = 2 (thỏa mãn đk)

+) 2x - 3 = -1 Rightarrow 2x = 2 Rightarrow x =1(thỏa mãn đk)

+) 2x - 3 = 7 Rightarrow 2x = 10 Rightarrow x = 5 (thỏa mãn đk)

+) 2x - 3 = -7 Rightarrow 2x = -4 Rightarrow x = -2 (thỏa mãn đk)

Vậy x in left{ { - 2;1;2;5} right}

Bài 7 (trang 130 SGK Toán 8 Tập 2)

Giải những phương trình:
a) ,,,, dfrac{4x + 3}{5} - dfrac{6x - 2}{7} = dfrac{5x + 4}{3} + 3;

b) ,,,,dfrac{3(2x - 1)}{4} - dfrac{3x +1}{10} + 1 = dfrac{2(3x + 2)}{5} ;

c) ,,,,dfrac{x + 2}{3} + dfrac{3(2x - 1)}{4} - dfrac{5x - 3}{6} = x + dfrac{5}{12}.

Gợi ý đáp án:

a) ,,,, dfrac{4x + 3}{5} - dfrac{6x - 2}{7} = dfrac{5x + 4}{3} + 3

Leftrightarrow dfrac{21.(4x + 3)}{105} - dfrac{15(6x - 2)}{105} = dfrac{35(5x + 4)}{105} + dfrac{315}{105}

Rightarrow 21(4x + 3) - 15(6x - 2) = 35(5x + 4) + 315

Leftrightarrow 84x + 63 - 90x + 30 = 175x + 140 + 315

Leftrightarrow 181x = -362

Leftrightarrow x = -2
Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {-2}

b) ,,,,dfrac{3(2x - 1)}{4} - dfrac{3x +1}{10} + 1 = dfrac{2(3x + 2)}{5}

Leftrightarrow dfrac{15(2x - 1)}{20} - dfrac{2(3x +1)}{20} + dfrac{20}{20} = dfrac{8(3x + 2)}{20}

Rightarrow 15(2x - 1) - 2(3x + 1) + 20 = 8(3x + 2)

Leftrightarrow 30x - 15 - 6x - 2 + 20 = 24x + 16

Leftrightarrow 0x = 13 ,, text{(vô lí)}
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm hay S = varnothing

c) ,,,,dfrac{x + 2}{3} + dfrac{3(2x - 1)}{4} - dfrac{5x - 3}{6} = x + dfrac{5}{12}

Leftrightarrow dfrac{4(x + 2)}{12} + dfrac{9(2x - 1)}{12} - dfrac{2(5x - 3)}{12} = dfrac{12x}{12} + dfrac{5}{12}

Rightarrow 4(x + 2) + 9(2x - 1) - 2(5x - 3) = 12x + 5

Leftrightarrow 4x + 8 + 18x - 9 - 10x + 6 = 12x + 5

Leftrightarrow 0x = 0 ,, text{(luôn đúng)}

Vậy phương trình có vô số nghiệm hay S = mathbb{R}

Bài 8 (trang 130 SGK Toán 8 Tập 2)

Giải những phương trình:

a. |2x – 3| = 4;                        b. |3x – 1| – x = 2.

Gợi ý đáp án:

a. |2x – 3| = 4

+) Trường hợp 1: |2x-3| = 2x-3 khi 2x - 3 geqslant 0 Leftrightarrow x geqslant dfrac{3}{2}

Ta có:

eqalign{
& 2x - 3 = 4 cr
& Leftrightarrow 2x = 4 + 3 cr
& Leftrightarrow 2x = 7 cr
& Leftrightarrow x = {7 over 2} text{( Thỏa mãn)}cr}

+) Trường hợp 2: |2x-3| = -2x+3 khi 2x - 3 < 0 Leftrightarrow x < dfrac{3}{2}

Ta có:

eqalign{
& - 2x + 3 = 4 cr
& Leftrightarrow - 2x = 4 - 3 cr
& Leftrightarrow - 2x = 1 cr
& Leftrightarrow x = - {1 over 2} text{ (Thỏa mãn)}cr}

Vậy phương trình có hai nghiệm x = dfrac{7}{2};x = dfrac{{ - 1}}{2}.

b. |3x – 1| – x = 2.

|3{rm{x}} - 1|, = left[ begin{array}{l}
3{rm{x}} - 1,khi,x ge dfrac{1}{3}\
- left( {3{rm{x}} - 1} right),khi,x < dfrac{1}{3},
end{array} right.

+) Trường hợp 1: Khi x ge dfrac{1}{3} ta có:

begin{array}{l}
|3{rm{x}} - 1| - x = 2\
Leftrightarrow 3{rm{x}} - 1 = 2 + x\
Leftrightarrow 3{rm{x}} - x = 2 + 1\
Leftrightarrow 2{rm{x}} = 3\
Leftrightarrow x = dfrac{3}{2}left( text{Thỏa mãn} right)
end{array}

+) Trường hợp 2: Khi x < dfrac{1}{3} ta có:

begin{array}{l}
|3{rm{x}} - 1| - x = 2\
Leftrightarrow - 3{rm{x}},{rm{ + }},1 = 2 + x\
Leftrightarrow - 3{rm{x}} - x = 2 - 1\
Leftrightarrow - 4{rm{x}} = 1\
Leftrightarrow x = dfrac{{ - 1}}{4}left( text{Thỏa mãn} right)
end{array}

Vậy phương trình có hai nghiệm x = dfrac{3}{2};x = dfrac{{ - 1}}{4}.

Bài 9 (trang 130, 131 SGK Toán 8 Tập 2)

Giải phương trình:

dfrac{{x + 2}}{{98}} + dfrac{{x + 4}}{{96}} = dfrac{{x + 6}}{{94}} + dfrac{{x + 8}}{{92}}

Gợi ý đáp án:

dfrac{x + 2}{98} + dfrac{x + 4}{96} = dfrac{x + 6}{94} + dfrac{x + 8}{92}

Leftrightarrow dfrac{x + 2}{98} + 1 + dfrac{x + 4}{96} + 1 = dfrac{x + 6}{94} + 1 + dfrac{x + 8}{92} + 1

Leftrightarrow dfrac{x + 2}{98} + dfrac{98}{98} + dfrac{x + 4}{96} + dfrac{96}{96} = dfrac{x + 6}{94} + dfrac{94}{94} + dfrac{x + 8}{92} + dfrac{92}{92}

Leftrightarrow dfrac{x + 100}{98} + dfrac{x + 100}{96} = dfrac{x + 100}{94} + dfrac{x + 100}{92}

Leftrightarrow dfrac{x + 100}{98} + dfrac{x + 100}{96} - dfrac{x + 100}{94} - dfrac{x + 100}{92} = 0

Leftrightarrow (x + 100)left(dfrac{1}{98} + dfrac{1}{96} - dfrac{1}{94} - dfrac{1}{92}right) = 0

Leftrightarrow x + 100 = 0 ,, left(text{vì} dfrac{1}{98} + dfrac{1}{96} - dfrac{1}{94} - dfrac{1}{92} ne 0 right)

Leftrightarrow x = -100

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {-100}

Bài 10 (trang 131 SGK Toán 8 Tập 2)

Giải những phương trình:

a) ,,,, dfrac{1}{x + 1} - dfrac{5}{x - 2} = dfrac{15}{(x + 1)(2 - x)};         b) ,,,, dfrac{x - 1}{x + 2} - dfrac{x}{x - 2} = dfrac{5x - 2}{4 - x^2}.

Gợi ý đáp án:

a) ,,,, dfrac{1}{x + 1} - dfrac{5}{x - 2} = dfrac{15}{(x + 1)(2 - x)}
ĐKXĐ: x ne -1; , x ne 2.
dfrac{1}{x + 1} - dfrac{5}{x - 2} = dfrac{15}{(x + 1)(2 - x)}

Leftrightarrow dfrac{x - 2}{(x + 1)(x - 2)} - dfrac{5(x + 1)}{(x - 1)(x - 2)} = dfrac{-15}{(x + 1)(x - 2)}

Leftrightarrow x - 2 - 5(x + 1) = -15

Leftrightarrow x - 2 - 5x - 5 = -15

Leftrightarrow -4x = -8

Leftrightarrow x = 2 , text{(loại)}
Vậy phương trình vô nghiệm

b) ,,,, dfrac{x - 1}{x + 2} - dfrac{x}{x - 2} = dfrac{5x - 2}{4 - x^2}
ĐKXĐ: x ne pm 2

dfrac{x - 1}{x + 2} - dfrac{x}{x - 2} = dfrac{5x - 2}{4 - x^2}

Leftrightarrow dfrac{(x - 1)(x - 2)}{x^2 - 4} - dfrac{x(x + 2)}{x^2 - 4} = dfrac{-(5x - 2)}{x^2 - 4}

Leftrightarrow (x - 1)(x - 2) - x(x + 2) = -(5x - 2)

Leftrightarrow x^2 - 2x - x + 2 - x^2 - 2x = -5x + 2

Leftrightarrow 0x = 0 , , text{(luôn đúng)}
Vậy phương trình có tập nghiệm là S = mathbb{R}backslash {pm 2}

Bài 11 (trang 131 SGK Toán 8 Tập 2)

Giải những phương trình:

a) 3{x^2} + 2x - 1 = 0           b) dfrac{{x - 3}}{{x - 2}} + dfrac{{x - 2}}{{x - 4}} = 3dfrac{1}{5}

Gợi ý đáp án:

a) 3{x^2} + 2x - 1 = 0

⇔3{x^2}- 3 + 2x + 2 = 0

⇔3({x^2}– 1) + 2(x + 1) = 0

⇔3(x - 1)(x + 1) + 2(x + 1) = 0

⇔(x + 1)(3x – 3 + 2) =0

⇔(x + 1)(3x – 1)=0

⇔left[ {matrix{{x + 1 = 0} cr {3x - 1 = 0} cr} } right.

⇔left[ {matrix{{x = - 1} cr {x = dfrac{1}{3}} cr} } right.

Vậy S = left{ { - 1;dfrac{1}{3}} right}

b) ,,,, dfrac{x - 3}{x - 2} + dfrac{x - 2}{x - 4} = 3dfrac{1}{5}

ĐKXĐ: x ne 2; , x ne 4

dfrac{x - 3}{x - 2} + dfrac{x - 2}{x - 4} = 3dfrac{1}{5}

Leftrightarrow dfrac{x - 3}{x - 2} + dfrac{x - 2}{x - 4} = dfrac{16}{5}

Leftrightarrow dfrac{5(x - 3)(x - 4)}{5(x - 2)(x - 4)} + dfrac{5(x - 2)(x - 2)}{5(x - 2)(x - 4)} = dfrac{16(x - 2)(x - 4)}{5(x - 2)(x - 4)}

Leftrightarrow 5(x - 3)(x - 4) + 5(x - 2)(x - 2) = 16(x - 2)(x - 4)

Leftrightarrow 5(x^2 - 4x - 3x + 12) + 5(x - 2)^2 = 16(x^2 - 4x - 2x + 8)

Leftrightarrow 5(x^2 - 7x + 12) + 5(x^2 - 4x + 4) = 16(x^2 - 6x + 8)

Leftrightarrow 5x^2 - 35x + 60 + 5x^2 - 20x + 20 = 16x^2 - 96x + 128

Leftrightarrow 6x^2 - 41x + 48 = 0

Leftrightarrow 6x^2 – 9x – 32x+ 48 = 0

Leftrightarrow 3x(2x – 3) – 16(2x – 3) = 0

Leftrightarrow (2x – 3) – (3x – 16) = 0

Leftrightarrow left[begin{array}{l} 2x - 3 = 0\ 3x - 16 = 0end{array} right.

Leftrightarrow left[begin{array}{l} x = dfrac{3}{2} ,, text{(thỏa mãn)}\ x = dfrac{16}{3} ,, text{(thỏa mãn)}end{array} right.
Vậy phương trình có tập nghiệm là S = left{dfrac{3}{2}; , dfrac{16}{3}right}

Bài 12 (trang 131 SGK Toán 8 Tập 2)

Một người đi xe máy từ A đến B với tốc độ 25km/h. Lúc về người đó đi với tốc độ 30km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút. Tính quãng đường AB.

Gợi ý đáp án:

Gọi độ dài quãng đường AB là x (km), (x > 0).

Thời gian đi từ A đến B là: dfrac{x}{{25}} (giờ)

Thời gian đi từ B về A là: dfrac{x}{{30}} (giờ)

Đổi 20 phút = dfrac{1}{3} giờ

Thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút nên ta có phương trình:

eqalign{
& {x over {25}} - {x over {30}} = {1 over 3} cr
& Leftrightarrow {{6x} over {150}} - {{5x} over {150}} = {{50} over {150}} cr
& Leftrightarrow 6x - 5x = 50 cr}

;;⇔x = 50 (thỏa mãn điều kiện x > 0).

Vậy quãng đường AB dài 50 km.

Bài 13 (trang 131 SGK Toán 8 Tập 2)

Một xí nghiệp dự định sản xuất 1500 sản phẩm trong 30 ngày. Nhưng nhờ tổ chức lao động hợp lý nên thực tại đã sản xuất mỗi ngày vượt 15 sản phẩm. Do đó xí nghiệp đã sản xuất không những vượt mức dự định 255 sản phẩm mà còn hoàn thành trước thời hạn. Hỏi thực tại xí nghiệp đã rút ngắn được bào nhiêu ngày?

Gợi ý đáp án:

Theo dự định, mỗi ngày xí nghiệp sản xuất được:

frac{1500}{30}=50 left(Sản phẩmright)

thực tại, mỗi ngày xí nghiệp sản xuất được:

50 + 15 = 65 (sản phẩm)

Tổng số sản phẩm thực tại xí nghiệm sản xuất được:

1500 + 255 = 1755 (sản phẩm)

Thời gian thực tại xí nghiệm sản xuất là:

1755 : 65 = 27 (ngày)

Vậy số ngày được rút ngắn so với dự định là:

30 – 27 = 3 (ngày).

Bài 14 (trang 131 SGK Toán 8 Tập 2)

Cho biểu thức:

A = left( {dfrac{x}{{{x^2} - 4}} + dfrac{2}{{2 - x}} + dfrac{1}{{x + 2}}} right):,left( {left( {x - 2} right) + dfrac{{10 - {x^2}}}{{x + 2}}} right)

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của A tại x, biết left| x right| = dfrac{1}{2} .

c) Tìm giá trị của x để A < 0.

Gợi ý đáp án:

a) A = left( {{x over {{x^2} – 4}} + {2 over {2 – x}} + {1 over {x + 2}}} right):left( {left( {x – 2} right) + {{10 – {x^2}} over {x + 2}}} right)

=left( {{x over {left( {x – 2} right)left( {x + 2} right)}} – {2 over {x – 2}} + {1 over {x + 2}}} right):{{left( {x – 2} right)left( {x + 2} right) + 10 – {x^2}} over {x + 2}}

=({{x – 2left( {x + 2} right) + x – 2} over {left( {x – 2} right)left( {x + 2} right)}}:{{{x^2} – 4 + 10 – {x^2}} over {x + 2}}

={{x – 2left( {x + 2} right) + x – 2} over {left( {x – 2} right)left( {x + 2} right)}}{{ – 6} over {left( {x – 2} right)left( {x + 2} right)}}:{6 over {x + 2}}:{{{x^2} – 4 + 10 – {x^2}} over {x + 2}}

={{ – 6} over {left( {x – 2} right)left( {x + 2} right)}}.{{x + 2} over 6}

={{ – 1} over {x – 2}} = {1 over {2 – x}}

b) Giá trị của A tại left| x right| =dfrac{1}{2}

|x| = dfrac{1}{2} Leftrightarrow left[ begin{gathered}
x = dfrac{1}{2} hfill \
x = - dfrac{1}{2} hfill \
end{gathered} right.

+) Nếu x = dfrac{1}{2} (tmđk) thì A = dfrac{1}{{2 - dfrac{1}{2}}} = dfrac{1}{{dfrac{4}{2} - dfrac{1}{2}}} = dfrac{1}{{dfrac{3}{2}}} = dfrac{2}{3}

Nếu x = { - dfrac{1}{2}}(tmđk) thì A = dfrac{1}{{2 - left( { - dfrac{1}{2}} right)}} = dfrac{1}{{2 + dfrac{1}{2}}} = dfrac{1}{{dfrac{4}{2} + dfrac{1}{2}}} = dfrac{1}{{dfrac{5}{2}}} = dfrac{2}{5}

c) A < 0 khi dfrac{1}{{2 - x}} < 0 Leftrightarrow 2 - x < 0 hay x > 2 (tmđk)

Vậy xvàgt;2 thì Avàlt;0

Giải bài tập phần Hình học  Toán 8 tập 2 trang 131, 132

Bài 1 (trang 131 SGK Toán 8 Tập 2)

Dựng hình thang ABCD (AB // CD), biết ba cạnh: AD = 2cm, CD = 4cm, BC = 3cm và đường chéo AC = 5cm.

Gợi ý đáp án:

Bài 1

* Dựng hình:

– Dựng tam giác ADC có AD = 2cm, DC = 4cm, CA = 5cm.

– Dựng tia Ax song song với CD.

– Đường tròn (C; 3cm) cắt Ax tại B1 và B2.

Hình thang ABCD với B ≡ B1 hoặc B ≡ B2 là hình thang cần dựng.

* minh chứng

+ Tứ giác ABCD có AD = 2cm, DC = 4cm, CA = 5cm.

+ Ax // CD ⇒ AB // CD ⇒ ABCD là hình thang.

+ B ∈ (C; 3cm) ⇒ BC = 3cm.

* Biện luận: Bài toán có hai nghiệm hình.

Bài 2 (trang 131 SGK Toán 8 Tập 2)

Cho hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau ở O và tam giác ABO là tam giác đều. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của những đoạn thẳng OA, OD và BC. minh chứng rằng tam giác EFG là tam giác đều.

Gợi ý đáp án:

Bài 2

Vì tam giác ABO đều (giả thiết)

Rightarrow widehat {AOB} = widehat {OAB} = widehat {ABO} = {60^0} (tính chất tam giác đều)

Vì AB // CD (gt)

Rightarrow left{ begin{array}{l}
widehat {O{rm{D}}C} = widehat {ABO} = {60^0}left( {so,le,trong} right)\
widehat {OC{rm{D}}} = widehat {OAB} = {60^0}left( {so,le,trong} right)
end{array} right.

widehat {CO{rm{D}}} = widehat {AOB} = {60^0} (đối đỉnh)

⇒ tam giác CDO cũng đều (dấu hiệu nhận biết tam giác đều)

Rightarrow OD = OC (tính chất tam giác đều)

Xét ∆AOD và ∆BOC có:

+) AO = BO (tam giác ABO đều)

+) widehat {AO{rm{D}}} = widehat {BOC} (đối đỉnh)

+) OD = OC (cmt)

Rightarrow ∆AOD = ∆BOC (c.g.c)

Rightarrow AD = BC (2 cạnh tương ứng)

Ta có: E, F là trung điểm của AO và DO (gt)

⇒ EF là đường trung bình của tam giác AOD (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

EF = dfrac{1}{2}AD = dfrac{1}{2}BC (1) (tính chất đường trung bình của tam giác)

CF là đường trung tuyến của tam giác đều CDO nên CF ⊥ DO (tính chất tam giác đều)

Trong tam giác vuông CFB, FG là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên:

FG = dfrac{1}{2}BC (2)

minh chứng giống như:

BE là đường trung tuyến của tam giác đều ABO nên BE ⊥ AO (tính chất tam giác đều)

Trong tam giác vuông CEB, EG là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên:

EG = dfrac{1}{2}BC (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra EF = GF = EG nên tam giác EFG là tam giác đều (dấu hiệu nhận biết tam giác đều)

Bài 3 (trang 131 SGK Toán 8 Tập 2)

Tam giác ABC có những đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Đường vuông góc với AB tại B và đường vuông góc với AC tại C cắt nhau ở K. Tam giác ABC phải có điều kiện gì thì tứ giác BHCK là:

a) Hình thoi? ; b) Hình chữ nhật?

Gợi ý đáp án:

Bài 3

Ta có: CE ⊥ AB (gt)

KB ⊥ AB (gt)

⇒ BK // CE (1)

giống như BH // KC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ BHCK là hình bình hành.

Gọi M là giao điểm của hai đường chéo BC và HK.

a) Tam giác ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H nên H là trực tâm tam giác ABC

⇒ AH ⊥ BC. (3)

BHCK là hình thoi

⇔ HM ⊥ BC ( Trong số đó M là giao điểm của hai đường chéo HK và BC) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: A, H, M thẳng hàng.

Khi đó, tam giác ABC có AM là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên tam giác ABC là cân tại A.

b) BHCK là hình chữ nhật ⇔ BK ⊥ BH.

Ta lại có BK ⊥ AB (gt) nên H, B, A thẳng hàng.

BH bot AC nên AB bot AC. Vậy tam giác ABC là tam giác vuông ở A.

Bài 4 (trang 132 SGK Toán 8 Tập 2)

Cho hình bình hành ABCD. những điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi E là giao điểm của AN và DM, K là giao điểm BN và CM. Hình bình hình ABCD phải có điều kiện gì để tứ giác MENK là:

a) Hình thoi?;

b) Hình chữ nhật?;

c) Hình vuông?

Gợi ý đáp án:

Bài 4

ABCD là hình bình hành ⇒ AB = CD.

M là trung điểm AB ⇒ AM = MB = AB/2.

N là trung điểm CD ⇒ CN = DN = CD/2.

⇒ AM = MB = CN = DN.

+ Tứ giác BMDN có: BM // DN và BM = DN

⇒ BMDN là hình bình hành

⇒ DM // BN hay ME // NK

+ Tứ giác AMCN có: AM // NC, AM = NC

⇒ AMCN là hình bình hành

⇒ AN // CM hay EN // MK.

+ Tứ giác MENK có: ME // NK và NE // MK

⇒ MENK là hình bình hành.

a) MENK là hình thoi

⇔ MN ⊥ EK.

⇔ CD ⊥ AD (Vì EK // CD và MN // AD)

⇔ ABCD là hình chữ nhật.

b) MENK là hình chữ nhật

⇔ MN = EK

Mà MN = BC; EK=frac{1}{2}CD (vì tam giác MCD có E và K lần lượt là trung điểm MD, MC nên EK là đường trung bình của tam giác MCD).

⇔BC=frac{1}{2}CD

⇔ CD = 2.BC.

c) MENK là hình vuông

⇔ MENK là hình thoi và đồng thời là hình chữ nhật

⇔ ABCD là hình chữ nhật và có CD = 2.BC.

Bài 5 (trang 132 SGK Toán 8 Tập 2)

Trong tam giác ABC, những đường trung tuyến AA’ và BB’ cắt nhau ở G. Tính diện tích tam giác ABC biết rằng diện tích tam giác ABG bằng S.

Gợi ý đáp án:

Bài 5

Ta có: AC = 2AB’ (tính chất trung tuyến)

Delta ABC,,Delta ABB có cùng chiều cao hạ từ đỉnh B xuống đáy AC.

Rightarrow {S_{ABC}} = 2{S_{ABB'}} (1)

Xét Delta ABC có những đường trung tuyến AA’ và BB’ cắt nhau ở G (gt)

⇒ G là trọng tâm của Delta ABC (định nghĩa trọng tâm)

BB' = dfrac{3}{2}BG (tính chất trọng tâm)

Suy ra chiều cao hạ từ B’ xuống đáy AB bằng dfrac{3}{2} lần chiều cao hạ từ G xuống đáy AB

Delta ABG,,Delta ABB' chung đáy AB

Nên {S_{ABB'}} = dfrac{3}{2}{S_{ABG}} (2)

Từ (1), (2) suy ra {S_{ABC}} = 2.dfrac{3}{2}{S_{ABG}} = 3S

Bài 6 (trang 132 SGK Toán 8 Tập 2)

Cho tam giác ABC và đường trung tuyến BM. Trên đoạn thẳng BM lấy điểm D sao cho frac{BD}{DM}=frac{1}{2}. Tia AD cắt BC ở K. Tìm tỉ số diện tích của tam giác ABK và tam giác ABC.

Gợi ý đáp án:

Bài 6

Kẻ ME song song với AK (E ∈ BC).

Ta có: dfrac{{BK}}{{KE}} = dfrac{{BD}}{{DM}} = dfrac{1}{2}

Rightarrow KE = 2BK

Trong tam giác đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ 3. Do đó E là trung điểm cạnh KC.

Suy ra ME là đường trung bình của tam giác ACK nên EC = KE = 2BK.

Ta có : BC = BK + KE + EC = BK + 2BK + 2BK = 5BK

Rightarrow dfrac{{BK}}{{BC}} = dfrac{1}{5}

dfrac{{{S_{ABK}}}}{{{S_{ABC}}}} = dfrac{{BK}}{{BC}} = dfrac{1}{5} (vì hai tam giác ABK và ABC có chung đường cao hạ từ A.

Bài 7 (trang 132 SGK Toán 8 Tập 2)

Cho tam giác ABC (AB < AC). Tia phân giác của góc A cắt BC ở K. Qua trung điểm M của BC kẻ một tia song song với KA cắt đường thẳng AB ở D, cắt AC ở E. minh chứng BD = CE.

Gợi ý đáp án:

Bài 7

AK là đường phân giác của tam giác ABC (gt) nên

dfrac{{KB}}{{AB}} = dfrac{{KC}}{{AC}} (1) (tính chất đường phân giác của tam giác)

Vì MD // AK (gt) nên:

∆ABK ∽ ∆DBM∆ECM ∽ ∆ACK

Do đó:

dfrac{{KB}}{{AB}} = dfrac{{BM}}{{BD}} (2) và dfrac{{CM}}{{CE}} = dfrac{{KC}}{{AC}} (3) (tính chất hai tam giác đồng dạng)

Từ (1), (2) và (3) ta có: dfrac{{BM}}{{BD}} = dfrac{{CM}}{{CE}} (4)

Do BM = CM (vì M là trung điểm) nên từ (4) suy ra: BD = CE.

Bài 8 (trang 132 SGK Toán 8 Tập 2)

Trên hình 151 cho thấy ta có thân xác định chiều rộng BB’ của khúc sông bằng phương pháp xét hai tam giác đồng dạng ABC và AB’C’. Hãy tính BB’ nếu AC = 100m, AC’ = 32cm, AB’ = 34m.

Bài 8
Hình 151

Gợi ý đáp án:

Ta có: Delta ABC sim Delta AB'C'left( text{giả thiết} right)

Rightarrow dfrac{{AB}}{{AB'}} = dfrac{{AC}}{{AC'}} (tính chất hai tam giác đồng dạng)

Mà AB=AB’+BB’

Rightarrow dfrac{{AB' + BB'}}{{AB'}} = dfrac{{AC}}{{AC'}}

Rightarrow dfrac{{34 + BB'}}{{34}} = dfrac{{100}}{{32}}

begin{array}{l}
Rightarrow 34 + BB' = 34.100:32\
Rightarrow 34 + BB' = 106,25\
Rightarrow BB' = 106,25 - 34\
Rightarrow BB' = 72,25left( m right)
end{array}

Bài 9 (trang 132 SGK Toán 8 Tập 2)

Cho tam giác ABC có AB < AC, D là một điểm nằm giữa A và C. minh chứng rằng:

widehat {ABD} = widehat {ACB} Leftrightarrow A{B^2} = AC.AD

Gợi ý đáp án:

Bài 9

a) minh chứng widehat {ABD} = widehat {ACB} Rightarrow A{B^2} = AC.AD

Xét ∆A) v(∆A) có:

widehat A chung (gt)

widehat {ABD} = widehat {ACB} (gt)

Rightarrow ∆ABD ∽ ∆ACB (g.g)

Rightarrow dfrac{{AB}}{{AC}} = dfrac{{AD}}{{AB}} Rightarrow A{B^2} = AC.AD

b) minh chứng A{B^2} = AC.AD Rightarrow widehat {ABD} = widehat {ACB}

A{B^2} = AC.ADRightarrow dfrac{{AB}}{{AC}} = dfrac{{AD}}{{AB}}

Xét ∆ABD và ∆ACB có:

widehat A chung

dfrac{{AB}}{{AC}} = dfrac{{AD}}{{AB}}

Suy ra ∆ABD ∽ ∆ACB (c.g.c)

Rightarrow widehat {ABD} = widehat {ACB} (Tính chất hai tam giác đồng dạng).

Vậy widehat {ABD} = widehat {ACB} Leftrightarrow A{B^2} = AC.AD

Bài 10 (trang 132 SGK Toán 8 Tập 2)

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 12cm, AD = 16cm, AA’ = 25cm.

a) minh chứng rằng những tứ giác ACCA’, BDD’B’ là những hình chữ nhật.

b) minh chứng rằng AC’2 = AB2 + AD2 + AA’2.

c) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình hộp chữ nhật.

Gợi ý đáp án:

Bài 10

a) ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật

⇒ AA’ // CC’, AA’ = CC’

⇒ AA’C’C là hình bình hành

Lại có : AA’ ⊥ (ABCD) ⇒ AA’ ⊥ AC ⇒ widehat {A'AC} = {90^0}

⇒ Hình bình hành AA’C’C là hình chữ nhật.

minh chứng giống như được tứ giác BDD’B’ là những hình chữ nhật

b) Áp dụng định lý Pytago:

Trong tam giác vuông ACC’ ta có:

AC’2 = AC2 + CC’2 = AC2 + AA’2

Trong tam giác vuông ABC ta có:

AC2 = AB2 + BC2 = AB2 + AD2

Do đó: AC’2 =AB2 + AD2 + AA’2.

c) Hình hộp chữ nhật được coi như hình lăng trụ đứng.

Diện tích xung quanh:

Sxq = 2.(AB + AD).AA’

= 2.(12 + 16).25

= 1400 (cm2 )

Diện tích một đáy:

Sđ = AB.AD

= 12.16

= 192 (cm2 )

Diện tích toàn phần:

Stp = Sxq + 2Sđ

= 1400 + 2.192

= 1784 (cm2 )

Thể tích:

V = AB.AD.AA’

= 12.16.25

= 4800 (cm3 )

Bài 11 (trang 132 SGK Toán 8 Tập 2)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = 20cm, cạnh bên SA = 24cm.

a) Tính chiều cao SO rồi tính thể tích của hình chóp.

b) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.

Gợi ý đáp án:

Bài 11

a) Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên ABCD là hình vuông.

Do đó, B{rm{D}} = sqrt{AB^2+AD^2}=sqrt{20^2+20^2} = 20sqrt 2 ,cm

Vì SO là đường cao nên SO bot left( {ABC{rm{D}}} right) hay Delta {rm{OSD}} vuông tại O.

Áp dụng định lí Pitago ta có:

S{O^2} = S{D^2} - O{D^2} = {24^2} - {left( {dfrac{{20sqrt 2 }}{2}} right)^2}= 376

Rightarrow SO=sqrt{376} approx 19,4left( {cm} right)

V =dfrac{1}{3}{.20^2}.sqrt{376}approx 2585,43 (cm^{2} )

b) Gọi) là trung điểm của CD. Suy ra SH vuông góc với CD (do tam giác SCD cân tại S)

Xét tam giác SHD vuông tại H, theo định lý Pytago ta có:

S{H^2} = S{D^2} - D{H^2} = {24^2} - {left( {dfrac{{20}}{2}} right)^2} = 476

Rightarrow SH=sqrt {476} ≈ 21,8 (cm)

{S_{xq}} = p.d = dfrac{1}{2}.4.20.sqrt {476} approx 872,7cm^{2}

{S_đ} = A{B^2} = {20^2} = 400left( {c{m^2}} right)

{S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_đ} = 872,7 + 400 = 1272,7{left( {cm} right)^2}

Có thể bạn quan tâm:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *