Giải bài tập SGK Toán 7 trang 66, 67 giúp những em học viên lớp 7 em gợi ý giải những bài tập của Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác thuộc chương 3 Hình học 7.

Tài liệu giải những bài tập với nội dung bám sát chương trình sách giáo khoa trang 66, 67 Toán lớp 7 tập 2. Qua đó giúp học viên lớp 7 tìm hiểu thêm nắm vững hơn kiến thức và kỹ năng trên lớp. Bên cạnh đó những bạn tìm hiểu thêm thêm đề thi học kì 2 môn Toán. Mời những bạn cùng theo dõi bài viết tại đây.

Giải Toán 7 Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

  • Lý thuyết Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
  • Giải bài tập toán 7 trang 66 tập 2
    • Bài 23 (trang 66 SGK Toán 7 Tập 2)
    • Bài 24 (trang 66 SGK Toán 7 Tập 2)
    • Bài 25 (trang 67 SGK Toán 7 Tập 2)
  • Giải bài tập toán 7 trang 66 tập 2: Luyện tập
    • Bài 26 (trang 67 SGK Toán 7 Tập 2)
    • Bài 27 (trang 67 SGK Toán 7 Tập 2)
    • Bài 28 (trang 67 SGK Toán 7 Tập 2)
    • Bài 29 (trang 67 SGK Toán 7 Tập 2)
    • Bài 30 (trang 67 SGK Toán 7 Tập 2)

Lý thuyết Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

a. Đường trung tuyến của tam giác

Hình minh họa:

– Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC) của tam giác ABC. Đôi khi, đường thẳng AM cũng gọi là đường trung tuyến của tam giác ABC.

– Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.

Đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh và trung điểm cạnh đối diện

b. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Định lý 1: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó.

Định lý 2: Vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Giải bài tập toán 7 trang 66 tập 2

Bài 23 (trang 66 SGK Toán 7 Tập 2)

Cho G là trọng tâm của tam giác DEF với đường trung tuyến DH.

Trong những khẳng định tiếp trong tương lai, khẳng định nào đúng?

dfrac{DG}{DH}= dfrac{1}{2}; dfrac{DG}{GH}= 3

dfrac{GH}{DH}= dfrac{1}{3}; dfrac{GH}{DG}= dfrac{2}{3}

Xem gợi ý đáp án

G là trọng tâm của tam giác DEF với đường trung tuyến DH. Ta có:

dfrac{{DG}}{{DH}} = dfrac{2}{3} nên ta có DG = 2a;DH = 3aleft( {a > 0} right)

Suy ra GH = DH – DG = 3a – 2a = a

Từ đó ta có:

begin{array}{l}
dfrac{{DG}}{{GH}} = dfrac{{2a}}{a} = 2;dfrac{{GH}}{{DH}} = dfrac{a}{{3a}} = dfrac{1}{3};\
dfrac{{GH}}{{DG}} = dfrac{a}{{2a}} = dfrac{1}{2}
end{array}

Vậy khẳng định dfrac{GH}{DH}= dfrac{1}{3} là đúng.

những khẳng định còn sót lại sai.

Bài 24 (trang 66 SGK Toán 7 Tập 2)

Cho hình 25. Hãy điền số thích hợp vào chỗ trống trong những đẳng thức sau:

a) MG = … MR; GR = … MR; GR = … MG

b) NS = … NG; NS = … GS; NG = … GS

Xem gợi ý đáp án

Từ hình vẽ ta thấy: S, R lần lượt là trung điểm của MP; NP nên NS và MR là hai đường trung tuyến của tam giác MNP.

G là giao của hai đường trung tuyến nên G là trọng tâm của ΔMNP, do đó ta rất có thể điền như sau:

a) MG =dfrac{2}{3} MR ; GR = dfrac{1}{3} MR ; GR =dfrac{1}{2} MG.

b) NS =dfrac{3}{2} NG; NS =3GS; NG =2GS.

Ta minh chứng:

a) Vì G là trọng tâm của ΔMNP nên theo tính chất trọng tâm tam giác ta có:

begin{array}{l}
dfrac{{MG}}{{MR}} = dfrac{2}{3} Rightarrow MG = dfrac{2}{3}MR\
Rightarrow GR = MR - MG = MR - dfrac{2}{3}MR = dfrac{1}{3}MR
end{array}

Từ đó suy ra:

dfrac{{GR}}{{MG}} = dfrac{{dfrac{1}{3}MR}}{{dfrac{2}{3}MR}}= dfrac{1}{2} Rightarrow GR = dfrac{1}{2}MG

b) Vì G là trọng tâm của ΔMNP nên theo tính chất trọng tâm tam giác ta có:

begin{array}{l}
dfrac{{NG}}{{NS}} = dfrac{2}{3} Rightarrow NG = dfrac{2}{3}NS;NS = dfrac{3}{2}NG\
Rightarrow GS = NS - NG = NS - dfrac{2}{3}NS = dfrac{1}{3}NS\
Rightarrow NS = 3GS\
dfrac{{NG}}{{GS}} = dfrac{{dfrac{2}{3}NS}}{{dfrac{1}{3}NS}} = 2 Rightarrow NG = 2GS
end{array}

Bài 25 (trang 67 SGK Toán 7 Tập 2)

Biết rằng: Trong một tam giác vuông. Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1 nửa cạnh huyền. Hãy giải bài toán sau:

Cho tam giác vuông ABC có hai góc vuông AB = 3cm, AC= 4cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC.

Áp dụng định lí Pitago cho ∆ABC vuông tại A ta có:

eqalign{
& B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} cr
& B{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25 cr}

Rightarrow BC = 5,cm.

Gọi M là trung điểm của BC ⇒ AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC, do đó AM = dfrac{1}{2} BC (1) (Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh bằng 1 nửa cạnh huyền).

Vì G là trọng tâm của ∆ ABC nên AG =dfrac{2}{3} AM (2)

Thay (1) vào (2) ta được:

AG =dfrac{2}{3}.dfrac{1}{2} BC

Rightarrow AG = dfrac{1}{3} BC = dfrac{1}{3}.5 =dfrac{5}{3},(cm).

Giải bài tập toán 7 trang 66 tập 2: Luyện tập

Bài 26 (trang 67 SGK Toán 7 Tập 2)

minh chứng định lí: Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau.

Xem gợi ý đáp án

Giả sử ΔABC cân tại A có hai đường trung tuyến BM và CN, ta cần minh chứng BM = CN.

Ta có: AC = 2.AM, AB = 2. AN, AB = AC (vì ΔABC cân tại A)

⇒ AM = AN.

Xét ΔABM và ΔACN có:

AM = AN

AB = AC

Góc A chung

⇒ ΔABM = ΔACN (c.g.c) ⇒ BM = CN (hai cạnh tương ứng).

Bài 27 (trang 67 SGK Toán 7 Tập 2)

Hãy minh chứng định lí đảo của định lí trên: Nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Xem gợi ý đáp án

Giả sử ta đưa về bài toán: Cho ∆ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau ở G. Biết BM=CN, minh chứng tam giác ABC là tam giác cân.

Vì ∆ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau ở G

⇒ G là trọng tâm của tam giác ABC.

Rightarrow GB = dfrac{2}{3}BM; GC = dfrac{2}{3}CN.

Mà BM = CN (giả thiết) nên GB = GC.

Tam giác GBC có GB = GC nên ∆GBC cân tại G.

Rightarrow widehat{GCB} = widehat{GBC} (Tính chất tam giác cân).

Xét ∆BCN và ∆CBM có:

+) BC là cạnh chung

+) CN = BM (giả thiết)

+) widehat{GCB} = widehat{GBC} (minh chứng trên)

Suy ra ∆BCN = ∆CBM (c.g.c)

Rightarrow widehat{NBC} = widehat{MCB} (hai góc tương ứng).

⇒ ∆ABC cân tại A (tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân) (điều phải minh chứng).

Bài 28 (trang 67 SGK Toán 7 Tập 2)

Cho tam giác DEF cân tại D với đường trung tuyến DI.

a) minh chứng ΔDEI = ΔDFI.

b) những góc DIE và góc DIF là những góc gì?

c) Biết DE = DF = 13cm, EF = 10cm, hãy tính độ dài đường trung tuyến DI.

Xem gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa:

a) Xét ∆DEI và ∆DFI có:

+) DI là cạnh chung

+) DE = DF (vì ∆DEF cân tại D)

+) IE = IF (DI là trung tuyến)

Vậy ∆DEI = ∆DFI (c.c.c)

b) Vì ∆DEI = ∆DFI (theo câu a) nên widehat{DIE} =widehat{DIF}.

widehat{DIE} +widehat{DIF} = 180^o ( hai góc kề bù)

Rightarrow widehat{DIE} =widehat{DIF}=dfrac{180^0}{2}= 90^o

Vậy những góc DIE và góc DIF là những góc vuông.

c) I là trung điểm của EF nên IE = IF =dfrac{{EF}}{2} = dfrac{{10}}{2}= 5,cm.

Áp dụng định lí Pytago vào ∆DEI vuông tại I (do theo câu b góc DIE vuông) ta có:

eqalign{
& D{E^2} = D{I^2} + E{I^2} cr
& Rightarrow D{I^2} = D{E^2}-E{I^2} cr
& ,,,,,,,,D{I^2}, = {13^2}-{5^2} = 144 cr
& Rightarrow DI = 12,,cm cr}

Bài 29 (trang 67 SGK Toán 7 Tập 2)

Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. minh chứng rằng:

GA = GB = GC

Hướng dẫn: Áp dụng định lí ở bài tập 26.

Mời bạn tìm hiểu thêm lời giải bài 26

Xem gợi ý đáp án

Gọi trung điểm BC, CA, AB lần lượt là M, N, P.

Khi đó AM, BN, CP đồng quy tại trọng tâm G.

Ta có: ∆ABC đều suy ra:

+ ∆ABC cân tại A ⇒ BN = CP (theo minh chứng bài 26).

+ ∆ABC cân tại B ⇒ AM = CP (theo minh chứng bài 26).

⇒ AM = BN = CP (1)

Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên theo tính chất đường trung tuyến:

GA = 2/3 AM; GB = 2/3 BN; GC = 2/3 CP

Từ (1) , (2) ⇒ GA = GB = GC.

Bài 30 (trang 67 SGK Toán 7 Tập 2)

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên tia AG lấy điểm G’ sao cho G là trung điểm của AG’.

a) So sánh những cạnh của tam giác BGG’ với những đường trung tuyến của tam giác ABC.

b) So sánh những đường trung tuyến của tam giác BGG’ với những cạnh của tam giác ABC.

Xem gợi ý đáp án

a) Gọi trung điểm BC, CA, AB lần lượt là M, N, P.

⇒ AM, BN, CP là những đường trung tuyến, G là trọng tâm của ΔABC

Theo tính chất đường trung tuyến của tam giác ta có:

GB = 2/3.BN (1)

GA = 2/3.AM, mà GA = GG’ (do G là trung điểm của AG’) ⇒ GG’ = 2/3.AM (2)

GM=một phần hai.AG, mà AG=GG’ ⇒ GM=một phần hai.GG’ ⇒ M là trung điểm của GG’ hay GM = G’M .

Xét ΔGMC và ΔG’MB có:

GM = G’M (minh chứng trên)

góc GMC = góc BMG

MC = MB

⇒ ΔGMC = ΔG’MB (c.g.c)

⇒ GC = G’B (hai cạnh tương ứng).

Mà CG = 2/3.CP (tính chất đường trung tuyến) ⇒ G’B = 2/3.CP (3)

Từ (1), (2), (3) ta có : GG’ = 2/3.AM , GB = 2/3.BN, G’B = 2/3.CP.

b) So sánh những đường trung tuyến của ∆BGG’ với những cạnh của ∆ABC.

– Ta có: BM là đường trung tuyến ∆BGG’

Mà M là trung điểm của BC nên BM = dfrac{1}{2} BC.

Gọi I là trung điểm BG

IG = dfrac{1}{2} BG (do I là trung điểm BG)

GN = dfrac{1}{2}BG (G là trọng tâm)

Rightarrow IG = GN

Xét ∆IGG’ và ∆NGA có:

+) IG = GN (minh chứng trên)

+) GG’ = GA (giả thiết)

+) widehat {IGG'} = widehat {NGA} (hai góc đối đỉnh)

Vậy ∆IGG’ = ∆NGA (c.g.c)

⇒ IG’ = AN (hai cạnh tương ứng)

Rightarrow IG' = dfrac{{AC}}{2}

– Gọi K là trung điểm BG’ ⇒ GK là trung tuyến của ∆BGG’

GE = dfrac{1}{2} GC (G là trọng tâm tam giác ABC)

BG’ = GC (minh chứng trên)

Rightarrow GE =dfrac{1}{2} BG'

Mà K là trung điểm BG’ ⇒ KG’ = EG

Vì ∆GMC = ∆G’MB (minh chứng trên)

Rightarrow widehat {GCM} = widehat {G'BM} (hai góc tương ứng)

Rightarrow CE // BG’ Rightarrow widehat {AGE} = widehat {AG'B} (đồng vị)

Xét ∆AGE và ∆GG’K có:

+) EG = KG’ (minh chứng trên)

+) AG = GG’ (giả thiết)

+) widehat {AGE} = widehat {AG'B} (minh chứng trên)

Vậy ∆AGE = ∆GG’K (c.g.c)

Rightarrow AE = GK

AE = dfrac{1}{2}AB

Rightarrow GK = dfrac{1}{2} AB

Vậy BM = dfrac{1}{2}BC,G'I = dfrac{1}{2}AC,GK = dfrac{1}{2}AB

Hay mỗi đường trung tuyến của ∆BGG’ bằng 1 nửa cạnh của tam giác ABC.

Có thể bạn quan tâm:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *